Μερικά δεκάρια

KARKAR · #1

Παρότι οι θετικοί ακέραιοι 54 , 26

δεν λήγουν στο ίδιο ψηφίο , η διαφορά τετραγώνων τους :

54^2-26^2

, είναι πολλαπλάσιο του

.

Μπορείτε να βρείτε δύο θετικούς ακέραιους m , n

, οι οποίοι δεν λήγουν στο ίδιο ψηφίο αλλά

η διαφορά κύβων τους : m^3-n^3

, είναι πολλαπλάσιο του

;

#2

Η απάντηση είναι όχι.

Πράγματι, αρχικά παρατηρούμε ότι οι αριθμοί $\displaystyle{m , n}$ δεν μπορούν να έχουν διαφορετική αρτιότητα, γιατί τότε ο αριθμός $\displaystyle{m-n}$
θα ήταν περιττός και ο $\displaystyle{m^2 +mn +n^2}$ θα ήταν επίσης περιττός, οπότε και το γινόμενό τους θα ήταν περιττός, δηλαδή ο $\displaystyle{m^3 - n^3}$
θα ήταν περιττός και άρα δεν διαιρείται με το $\displaystyle{10}$ .
Έστω τώρα ότι είναι και οι δύο άρτιοι.
Τότε $\displaystyle{m=10k + u , n =10t +Y}$ , όπου $\displaystyle{u ,Y \in\{0,2,4,6,8\}}$
Άρα $\displaystyle{m^3 - n^3 = }$ πολλ10 $\displaystyle{+u^3 - Y^3}$ . Όμως $\displaystyle{u^3 , Y^3 \in \{0 , 8 , 64 , 216 , 512\}}$ . Άρα o $\displaystyle{u^3 - Y^3}$ δεν είναι πολλαπλάσιο του
$\displaystyle{10}$ , (αφού δεν λήγει σε μηδέν, με δεδομένο ότι έχουμε $\displaystyle{u \neq Y}$ ). Συνεπώς ούτε ο $\displaystyle{m^3 - n^3}$ θα είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{10}$ .
Όμοια εργαζόμαστε και όταν είναι και οι δύο αριθμοί μας περιττοί.

kfd · #3

Aν $\alpha$ το ψηφίο μονάδων του

τότε $m=\pi o\lambda \lambda .10+\alpha$ και $m^{3}=\pi o\lambda \lambda .10+a^{3}.$
O $\alpha ^{3}$ λήγει σε 0,1,8,7,4,5,6,3,2,9

αν

αντίστοιχα.
Τo ίδιο συμβαίνει για τον

και τον $n^{3}$ , με αποτέλεσμα η δεδομένη διαφορά κύβων για άνισα τελευταία ψηφία να μην είναι ποτέ
πολλαπλάσιο του 10, αφού δεν υπάρχουν ίσα ψηφία του $a^{3}$ για άνισα

.

Μερικά δεκάρια

Μερικά δεκάρια

Re: Μερικά δεκάρια

Re: Μερικά δεκάρια

Μέλη σε σύνδεση