Πολύ μικρό μέγιστο

KARKAR · #1

Δείξτε ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{ln(x+1)}{\sqrt{x}}$ , είναι μικρότερη του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 14, 2022 12:12 pm
Δείξτε ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{ln(x+1)}{\sqrt{x}}$ , είναι μικρότερη του .

Γραφικά.

: Πολύ μικρό μέγιστο.png (8.78 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 14, 2022 12:12 pm
Δείξτε ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{ln(x+1)}{\sqrt{x}}$ , είναι μικρότερη του .

Το μυστικό είναι η ανισότητα στο ποστ #2 εδώ. Για να το δούμε ανεξάρτητα, έστω $y\ge 1$ . Tότε

$\displaystyle{\left (y- \dfrac {1}{y} -2\ln y \right ) ' = 1 + \dfrac {1}{y^2 } - \dfrac {2}{y} = \left (y- \dfrac {1}{y} \right )^2 \ge 0}$

οπότε η $y- \dfrac {1}{y} -2\ln y$ είναι αύξουσα. Άρα $y- \dfrac {1}{y} -2\ln y \ge 1- \dfrac {1}{1} -2\ln 1=0$ .

Θέτοντας $y = \sqrt {1+x}$ όπου $x\ge 0$ , η προηγούμενη γράφεται

$\sqrt {1+x}- \dfrac {1}{\sqrt {1+x}} -\ln (1+x) \ge 0$ ισοδύναμα $\displaystyle{\boxed {\dfrac{\ln(x+1)}{\sqrt{x}}\le \dfrac {\sqrt x}{\sqrt {x+1}}}}$

Aν λοιπόν η

παίρνει την μέγιστη τιμή της στο x=a

τότε αφού $f(a)= \dfrac{\ln(a+1)}{\sqrt{a}}\le \dfrac {\sqrt a}{\sqrt {a+1}} <1$ , συμπεραίνουμε ότι το μέγιστο είναι σίγουρα μικρότερο του

(χωρίς να χρειαστεί να το βρούμε).

KARKAR · #4

: Ένα για τη λύση κι ένα για τη σύνδεση των δύο θεμάτων .

Βέβαια ανακύπτει το ερώτημα : Είναι ο κατάλληλος φάκελος για αυτό το θέμα ;

Πολύ μικρό μέγιστο

Πολύ μικρό μέγιστο

Re: Πολύ μικρό μέγιστο

Re: Πολύ μικρό μέγιστο

Re: Πολύ μικρό μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση