Σχεδόν άριστα

KARKAR · #1

Υπάρχει άραγε θετικός ακέραιος

, τέτοιος ώστε , η λύση της εξίσωσης :

$2^{x+k}=3^x$ , να βρίσκεται στο διάστημα : [19 , 20 ]

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 20, 2022 11:21 am
Υπάρχει άραγε θετικός ακέραιος , τέτοιος ώστε , η λύση της εξίσωσης :

$2^{x+k}=3^x$ , να βρίσκεται στο διάστημα : ;

Όχι!

Η εξίσωση έχει τη λύση $\displaystyle x = k\frac{{\ln 2}}{{\ln (3/2)}} \simeq 1,7095k.$ Έτσι,

για k=11

είναι $x\simeq 18,805$ ενώ για k=12

είναι $x\simeq 20,514$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 20, 2022 11:21 am
Υπάρχει άραγε θετικός ακέραιος , τέτοιος ώστε , η λύση της εξίσωσης :

$2^{x+k}=3^x$ , να βρίσκεται στο διάστημα : ;

Χωρίς εργαλεία: Θέλουμε $2^k=\left ( \dfrac {3}{2} \right ) ^x$ για κάποιο φυσικό

, όπου $x\in [19,\, 20]$ .

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι $\displaystyle{\left ( \dfrac {3}{2} \right )^4>5}$ και $\displaystyle{\left ( \dfrac {3}{2} \right )^5 <8}$ , Πράγματικά, το πρώτο λέει $3^4=81>80=5\times 2^4$ και το δεύτερο $3^5=243 < 256 = 2^8=8\times 2^5$ .

Άρα

$\displaystyle{\left ( \dfrac {3}{2} \right )^{20} = \left (\left ( \dfrac {3}{2} \right )^5 \right )^4<8^4 = 2^{12} }$ και

$\displaystyle{\left ( \dfrac {3}{2} \right )^{19}= \dfrac {2}{3} \left ( \dfrac {3}{2} \right )^{20} =\dfrac {2}{3}\left (\left ( \dfrac {3}{2} \right )^4 \right )^5 >\dfrac {2}{3}\left (5\right )^5= \dfrac {2}{3}\times 3125 > 2048 = 2^{11}}$

Δηλαδή οι εικόνες των $\left ( \dfrac {3}{2} \right ) ^x$ για $x\in [19,\, 20]$ είναι γνήσια μεταξύ των διαδοχικών δυνάμεων $2^{11},\, 2^{12}$ του

. Συνεπώς δεν υπάρχει δύναμη του

σε ακέραια δύναμη στο διάστημα που εξετάζουμε.

Σχεδόν άριστα

Σχεδόν άριστα

Re: Σχεδόν άριστα

Re: Σχεδόν άριστα

Μέλη σε σύνδεση