Διαφορά εμβαδών

#1

Αναζητώ μια σύντομη αιτιολόγηση γιατί : $\displaystyle (ABCD) - (AFKE) = 2(AGH)$

#2

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 27, 2022 9:13 am
Αναζητώ μια σύντομη αιτιολόγηση γιατί : $\displaystyle (ABCD) - (AFKE) = 2(AGH)$

Καλημέρα Γιώργη!

Όχι ιδιαίτερα σύντομη.

$\displaystyle 2(AGH) = 2(ABCD) - 2[(ADH) + (HGC) + (AGB)]$

$\displaystyle = 2(ABCD) - \left[ {(DHFA) + (HCGK) + (KGBF) + (AFKE)} \right]$

$\displaystyle = 2(ABCD) - (ABCD) - (AFKE) = (ABCD) - (AFKE)$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 27, 2022 9:13 am
Αναζητώ μια σύντομη αιτιολόγηση γιατί : $\displaystyle (ABCD) - (AFKE) = 2(AGH)$

Ισχύει

Μένει να δείξουμε ότι (EKFA)=AF.KF=AB.LF

που ισχύει αφού $\triangle ALF \simeq ABG$

: Διαφορά εμβαδών.png (9.02 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές

#4

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 27, 2022 9:13 am
Αναζητώ μια σύντομη αιτιολόγηση γιατί : $\displaystyle (ABCD) - (AFKE) = 2(AGH)$

Για το εμβαδόν

( κόκκινο) «τραβάω» το

στη θέση

, το

( κίτρινο) , ομοίως το

στην θέση

και θα προκύψουν:

: Διαφορά εμβαδών_Exdx.png (22.93 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές

$\left\{ \begin{gathered} 2X = \left( {HDEK} \right) \hfill \\ 2Z = \left( {HKGC} \right) \hfill \\ 2Y = \left( {EABG} \right) - \left( {EAFK} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Προσθέτω κι έχω αυτό που θέλω

#5

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 27, 2022 9:13 am
Αναζητώ μια σύντομη αιτιολόγηση γιατί : $\displaystyle (ABCD) - (AFKE) = 2(AGH)$

: Διαφορά εμβαδών.ΓΚ.png (11.68 KiB) Προβλήθηκε 516 φορές

$\displaystyle \frac{{(ABCD)}}{2} - \frac{{(AFKE)}}{2} = (HEFG) - (FKE) = (HEK) + (HKG) + (KGF)$

$\displaystyle = (HAK) + (HKG) + (KGA) = (AGH)$

#6

Το ίδιο σχηματικά.

: διαφορά εμβαδών.Γ.png (15.2 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

Τα τρίγωνα ίδιου χρώματος έχουν ίσα εμβαδά.

Μόλις τώρα παρατήρησα ότι έχω το ίδιο σχήμα με τον Νίκο.

#7

Καλησπέρα σε όλους. Ουσιαστικά η πρώτη λύση του Γιώργου #2, με σχήμα (για να φαίνονται τα λόγια λιγότερα...).

: 27-11-2022 Γεωμετρία.png (16.1 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Έστω

και

αντίστοιχα τα τρία ορθογώνια τρίγωνα που συμπληρώνουν το AGH

.

Αρκεί $\displaystyle {\rm E} - {{\rm E}_4} = 2{\rm E} - 2\left( {{{\rm E}_1} + {{\rm E}_2} + {{\rm E}_3}} \right) \Leftarrow {\rm E} = 2\left( {{{\rm E}_1} + {{\rm E}_2} + {{\rm E}_3}} \right) - {{\rm E}_4}$

$\displaystyle \Leftarrow ax + bx + ay + by = bx + ax + by + ax + ay - ax$ , που ισχύει.

Ιστοσελίδα · #8

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 27, 2022 9:13 am
Αναζητώ μια σύντομη αιτιολόγηση γιατί : $\displaystyle (ABCD) - (AFKE) = 2(AGH)$

: shape.png (25.45 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές

nickchalkida · #9

Επειδή "Παντὸς παραλληλογράμμου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν." (Ευκλ. 1.μγ)
(KLJF)=(ELID)

και

άρα
$\displaystyle{ (ABCD)-(AFKE)=(ABCD)-(AJID) = (JBCI) = 2(AGH) }$
και είναι φανερό ότι η ορθογωνιότητα είναι πλεονάζουσα.

#10

Εντυπωσιακή η ποικιλία των λύσεων

Η δική μου προσέγγιση , με Αναλυτική

: area2.png (22.4 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές

$\displaystyle (ABCD) - (AFKE) = ad - cb = 2\left( {\frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right|} \right) = 2(AGH)$

Διαφορά εμβαδών

Διαφορά εμβαδών

Re: Διαφορά εμβαδών

Re: Διαφορά εμβαδών

Re: Διαφορά εμβαδών

Re: Διαφορά εμβαδών

Re: Διαφορά εμβαδών

Re: Διαφορά εμβαδών

Re: Διαφορά εμβαδών

Re: Διαφορά εμβαδών

Re: Διαφορά εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση