Εύκολη μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Εύκολη μεγιστοποίηση.png (7.97 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου ASC

. Λογισμικό επιτρέπεται ; Ναι !

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 07, 2023 12:29 pm Εύκολη μεγιστοποίηση.pngΒρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου . Λογισμικό επιτρέπεται ; Ναι !

Δεν χρειάζεται λογισμικό. Είναι, $\displaystyle \cos B = \frac{{x + 5}}{{10}}$

: Εύκολη μεγιστοποίηση.Κ.png (11.75 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές

$\displaystyle (ASC) = \frac{{5x}}{2}\sin B = \frac{{5x}}{2}\sqrt {1 - \frac{{{{(x + 5)}^2}}}{{100}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{(ASC) = f(x) = \frac{x}{4}\sqrt { - {x^2} - 10x + 75} ,0 < x < 5}$

$\displaystyle f'(x) = - \frac{{2{x^2} + 15x - 75}}{{4\sqrt { - {x^2} - 10x + 75} }}$ που παρουσιάζει στο $\boxed{{x_0} = \frac{5}{4}\left( {\sqrt {33} - 3} \right)}$

μέγιστη τιμή ίση με $\boxed{ \max \{ (ASC)\} = \frac{{25}}{{32}}\sqrt {414 - 66\sqrt {33} }}$

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 07, 2023 12:29 pm Εύκολη μεγιστοποίηση.pngΒρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου . Λογισμικό επιτρέπεται ; Ναι !

$\dfrac{{(ASC)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \dfrac{x}{{x + 5}}\,\,\left( 1 \right)$ . Εμβαδόν του $\vartriangle ABC$ με τύπο Ήρωνα. $\left( {ABC} \right) = \dfrac{{\left( {x + 5} \right)\sqrt {\left( {5 - x} \right)\left( {x + 15} \right)} }}{4}$ .

: Ευκολη μεγιστοποίηση.png (11.94 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές

Οπότε: $\left( {ASC} \right) = f\left( x \right) = \dfrac{{x\sqrt {\left( {5 - x} \right)\left( {x + 15} \right)} }}{4}$ .

Εχει μέγιστο για ${x_0} = \dfrac{{5\sqrt {33} - 15}}{4}$ το $f\left( {{x_0}} \right) = \sqrt {\dfrac{{129375}}{{512}} - \dfrac{{20625\sqrt {33} }}{{512}}} \simeq 4,612609122$

#4

Kαλημέρα σε όλους. Κάπως διαφορετικά από τους αγαπητούς προηγηθέντες φίλους.

: 08-01-2023 Γεωμετρία.png (23.46 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

Έστω

, με

και

, οπότε $\displaystyle c \in \left( {\frac{5}{2},5} \right)$

$\displaystyle \left( {ASC} \right) = \frac{{\left( {c - a} \right)b}}{2} = \frac{{\left( {2c - 5} \right)\sqrt {25 - {c^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {\left( {25 - {c^2}} \right){{\left( {2c - 5} \right)}^2}} }}{2}$

Θα χρησιμοποιήσω μια τεχνική δίχως παραγώγους.

Το μέγιστο του (ABC)

προκύπτει όταν η παράσταση $\displaystyle \left( {25 - {c^2}} \right){\left( {2c - 5} \right)^2}$ , με $\displaystyle c \in \left( {\frac{5}{2},5} \right)$ πάρει τη μέγιστη τιμή της.

Είναι $\displaystyle \left( {25 - {c^2}} \right){\left( {2c - 5} \right)^2} = - \left( {5 - c} \right)\left( { - 5 - c} \right){\left( {2c - 5} \right)^2}$

Επειδή το άθροισμα των παραγόντων είναι σταθερό, θα έχουν μέγιστο γινόμενο όταν
γίνουν ίσοι, αν μπορεί να γίνουν ίσοι.

Εδώ προφανώς δεν μπορεί να γίνουν ίσοι, αφού το σύστημα $\displaystyle \frac{{5 - c}}{1} = \frac{{ - 5 - c}}{1} = \frac{{2c - 5}}{2}$ είναι αδύνατο.

Χρησιμοποιούμε λοιπόν τη μέθοδο Grillet. (Αν θέλετε περισσότερες πληροφορίες, ευχαρίστως. Θα δείτε ότι το γκουγκλάρισμα δεν δίνει κάτι...)

Παίρνουμε σταθερούς διαφορετικούς k,l, k +l= 2

ώστε $\displaystyle - \left( {5 - c} \right)\left( { - 5 - c} \right){\left( {2c - 5} \right)^2} = - \frac{1}{{kl}}\left( {5k - kc} \right)\left( { - 5l - lc} \right){\left( {2c - 5} \right)^2}$

Τώρα το σύστημα $\displaystyle \frac{{5k - kc}}{1} = \frac{{ - 5l - lc}}{1} = \frac{{2c - 5}}{2}$ δίνει $\displaystyle k = \frac{{2c - 5}}{{2\left( {5 - c} \right)}}$ και $\displaystyle l = \frac{{2c - 5}}{{ - 2\left( {5 + c} \right)}}$ ,

οπότε $\displaystyle k + l = 2 \Rightarrow \frac{{2c - 5}}{{2\left( {5 - c} \right)}} - \frac{{2c - 5}}{{2\left( {5 + c} \right)}} = 2 \Leftrightarrow \left( {2c - 5} \right)c = 2\left( {25 - {c^2}} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow 4{c^2} - 5c - 50 = 0$ , που δίνει δεκτή ρίζα $\displaystyle c = \frac{{5 + 5\sqrt {33} }}{8}$ .

Για την τιμή αυτή είναι $\displaystyle {\left( {ASC} \right)_{\max }} = \frac{{25\left( {\sqrt {33} - 3} \right)\sqrt {30 - 2\sqrt {33} } }}{{64}}$ , που είναι περίπου 4,612609

.

ΣΧΟΛΙΟ: Θα πει κανείς ότι πρόκειται για περιττό κόπο, αφού οι παράγωγοι δίνουν άμεση και απλούστερη απάντηση σε τέτοια προβλήματα max-min. Ασφαλώς! Απλώς η παραπάνω διαδικασία είναι ένα από τα πάμπολλα ιστορικά ευρήματα της μελέτης που κάνουμε με τον Γιάννη Θωμαΐδη σχετικά με τις αλγεβρικές τεχνικές για προβλήματα max-min. Εδώ αναδεικνύεται η αγωνία και η (απέλπιδα) προσπάθεια των Αλγεβριστών να αντισταθούν στην επερχόμενη λαίλαπα της Ανάλυσης, κυρίως στα μέσα του 19ου αιώνα, οπότε άρχισαν οι θεωρίες των Νεύτονα, Λέϊμπνιτς κ.α. να εφαρμόζονται στην πράξη και κυρίως στην εκπαίδευση. Να σχολιάσουμε ότι στη δική μας Β΄βάθμια εκπαίδευση η Ανάλυση (παράγωγοι, εφαρμογές τους) βρήκαν τη θέση τους γύρω στο 1980 και κάτι. Κατόπιν, θα έλεγα, σβήσαμε σχεδόν όλη την Άλγεβρα και τη Γεωμετρία, αφήνοντας την Ανάλυση, δίχως τα θεμέλια που απαιτούνται...

Εύκολη μεγιστοποίηση

Εύκολη μεγιστοποίηση

Re: Εύκολη μεγιστοποίηση

Re: Εύκολη μεγιστοποίηση

Re: Εύκολη μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση