Αφύσικη εξίσωση

KARKAR · #1

Να λυθεί η εξίσωση : $(2\phiι+1)^x =\phi$

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 10, 2023 12:29 pm Να λυθεί η εξίσωση : $(2\phiι+1)^x =\phi$

Με πολλαπλή χρήση της $\phi ^2 = \phi +1$ προσπαθούμε να κάνουμε το αριστερό μέλος ίσο με κάποια δύναμη του $\phi$ , διότι αυτό βλέπουμε στο δεξί μέλος.

Με κάποιες δοκιμές, λίγο στα κουτουρού και αν δεν λειτουργήσει κάνουμε νέα αρχή, καταλήγω στα:

$2\phi + 1= \phi + \phi + 1 = \phi + \phi ^2 = \phi (\phi + 1) = \phi \cdot \phi ^2 = \phi ^3$ .

Έχουμε λοιπόν την εξίσωση $\phi ^ {3x} = \phi$ . Άρα η (μία και μοναδική) ρίζα της είναι η $x= \dfrac {1}{3}$ .

Πολύ το διασκέδασα.

stranger · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Αύγ 10, 2023 12:59 pm
KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 10, 2023 12:29 pm Να λυθεί η εξίσωση : $(2\phiι+1)^x =\phi$
Με πολλαπλή χρήση της $\phi ^2 = \phi +1$ προσπαθούμε να κάνουμε το αριστερό μέλος ίσο με κάποια δύναμη του $\phi$ , διότι αυτό βλέπουμε στο δεξί μέλος.

Με κάποιες δοκιμές, λίγο στα κουτουρού και αν δεν λειτουργήσει κάνουμε νέα αρχή, καταλήγω στα:

$2\phi + 1= \phi + \phi + 1 = \phi + \phi ^2 = \phi (\phi + 1) = \phi \cdot \phi ^2 = \phi ^3$ .

Έχουμε λοιπόν την εξίσωση $\phi ^ {3x} = \phi$ . Άρα η (μία και μοναδική) ρίζα της είναι η $x= \dfrac {1}{3}$ .

Πολύ το διασκέδασα.

Μια ωραία απόδειξη ότι $\frac{\log \phi}{\log (2\phi+1)} = \frac{1}{3}$

KARKAR · #4

...Προκύπτει λοιπόν ότι : $2\phi+1=\phi^3$ . Επίσης μπορούμε να δείξουμε ότι : $3\phi+2=\phi^4$ .

Αναρωτιέται εύλογα κανείς μήπως ισχύει : $k\phi+(k-1)=\phi^{k+1}$ .

Κάτι τέτοιο ασφαλώς δεν συμβαίνει

. Μπορούμε όμως να επινοήσουμε έναν τύπο

που να παράγει σχέση μεταξύ των $k , \phi$ , η οποία να ισχύει για κάθε $k\in \mathbb{Z^*}$ ;

ksofsa · #5

Γενικά , όπως αποδεικνύεται με επαγωγή, ισχύει $\phi ^k=F_{k}\phi +F_{k-1}$ .

#6

KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 12, 2023 9:13 am Μπορούμε όμως να επινοήσουμε έναν τύπο

που να παράγει σχέση μεταξύ των $k , \phi$ , η οποία να ισχύει για κάθε $k\in \mathbb{Z^*}$ ;

Μπορούμε: Βρίσκοντας τα λίγα επόμενα $\phi ^k$ , αναγνωρίζει κανείς τους αριθμούς Fibonacci. Τελικά αποδεικνύεται ότι $\boxed {\phi ^k = F_k\phi + F_{k-1}}$ . Πράγματι, για k=2,3,4

τα έγραψε ήδη ο Θανάσης. Για το επαγωγικό βήμα έχουμε

$\phi ^{k+1} = \phi \cdot \phi ^k = \phi( F_k\phi + F_{k-1}) = F_k\phi ^2+ F_{k-1}\phi = F_k(\phi +1) + F_{k-1}\phi=$

$= (F_k+ F_{k-1} )\phi + F_{k} = F_{k+1} \phi + F_{k}$ , όπως θέλαμε.

Edit: Έγραφα παράλληλα με τον Κώστα. Το αφήνω.

Αφύσικη εξίσωση

Αφύσικη εξίσωση

Re: Αφύσικη εξίσωση

Re: Αφύσικη εξίσωση

Re: Αφύσικη εξίσωση

Re: Αφύσικη εξίσωση

Re: Αφύσικη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση