Τράπεζα θεμάτων και 9 επιμελείς Καθηγητές

[Mihalis_Lambrou]

Μία Τράπεζα Θεμάτων περιέχει ασκήσεις. Την κάθε άσκηση την έχουν λύσει τουλάχιστον οι μισοί Καθηγητές Μαθηματικών όλης της Ελλάδας. Δείξτε ότι υπάρχουν Καθηγητές που μεταξύ τους έχουν λύσει όλες τις ασκήσεις της Τράπεζας θεμάτων.

[αρψ2400]

Μία Τράπεζα Θεμάτων περιέχει ασκήσεις. Την κάθε άσκηση την έχουν λύσει τουλάχιστον οι μισοί Καθηγητές Μαθηματικών όλης της Ελλάδας. Δείξτε ότι υπάρχουν Καθηγητές που μεταξύ τους έχουν λύσει όλες τις ασκήσεις της Τράπεζας θεμάτων.

Είναι σίγουρα 9 και όχι 10 οι επιμελείς;

[αρψ2400]

Έστω κ οι καθηγητές .Από τη μία μεριά σχηματικά έχουμε τοα 1000 προβλήματα , και από την άλλη τους κ καθηγητές (διμερές γράφημα).Από κάθε πρόβλημα ξεκινούν κ/2 τουλάχιστον ακμές , άρα 1000*κ/2 =500κ συνολικά (τουλάχιστον).Αυτές 'πέφτουν' επάνω στις κ κορυφές των καθηγητών.Άρα σίγουρα υπάρχει καθηγητής που έλυσε 500 τουλάχιστον προβλήματα .Αυτός είναι το 1 από τα 9 μέλη της ομάδας των λυτών όλων των προβλημάτων.Τα υπόλοιπα 500 προβλήματα ''ρίχνουν'' 500*κ/2 =250κ ακμές πάνω στους κ καθηγητές και συνεπώς υπάρχει 1 καθηγητής που έλυσε 250 τουλάχιστον από αυτά τα προβλήματα (μπορεί και ο ίδιος καθηγητής που έλυσε και τα 500).Τα υπόλοιπα 250 προβλήματα ''ρίχνουν'' 250*κ/2 =125κ ακμές πάνω στους κ καθηγητές και συνεπώς υπάρχει 1 καθηγητής που έλυσε 125 τουλάχιστον από αυτά τα προβλήματα (μπορεί και κάποιος από τους καθηγητές που έλυσε/σαν τα προηγούμενα).Τα υπόλοιπα 125 προβλήματα ''ρίχνουν'' 125*κ/2 ακμές πάνω στους κ καθηγητές και συνεπώς υπάρχει 1 καθηγητής που έλυσε [125/2}+1=63 τουλάχιστον από αυτά τα προβλήματα (μπορεί και κάποιος από τους καθηγητές που έλυσε/σαν τα προηγούμενα).Συνεχίζοντας 1 έλυσε 31 από τα 62 εναπομείναντα, 1 έλυσε 16 από τα 31 εναπομείναντα , 1 έλυσε 8 από τα 15 εναπομείναντα , 1 έλυσε 4 από τα 7 εναπομείναντα , 1 έλυσε 2 από τα 3 εναπομείναντα ,1 έλυσε 1 από τα 1 εναπομείναν.

Αν ήταν 7 οι ασκήσεις και 8 οι καθηγητές , ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος καθηγητών που μαζί (σε κάθε δυνατή περίπτωση) θα έχουν λύσει και τα 7 προβλήματα;