Προσέγγιση

mick7 · #1

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς a,b,c

που είναι από 1-9 μια φορά τον καθένα να βρείτε μια προσέγγιση του $\pi$ χρησιμοποιώντας τον τύπο

$\pi \approx \sqrt{a + \sqrt{b + \sqrt{c}}}$

#2

mick7 έγραψε: Τετ Δεκ 03, 2025 7:58 pm Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς που είναι από 1-9 μια φορά τον καθένα να βρείτε μια προσέγγιση του $\pi$ χρησιμοποιώντας τον τύπο

$\pi \approx \sqrt{a + \sqrt{b + \sqrt{c}}}$

Γνωρίζοντας ότι $\pi \approx \sqrt {10}$ (το χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Ινδοί) έχουμε

$\sqrt{8 + \sqrt{1 + \sqrt{9}}} = \sqrt{8+ \sqrt{4}} =\sqrt {10} \approx \pi$

#3

Άλλες στο ίδιο μήκος κύματος

$\sqrt{8 + \sqrt{2 + \sqrt{4}}} = \sqrt{8+ \sqrt{4}} =\sqrt {10}$

$\sqrt{8 + \sqrt{3 + \sqrt{1}}} = \sqrt{8+ \sqrt{4}} =\sqrt {10}$

$\sqrt{7 + \sqrt{8 + \sqrt{1}}} = \sqrt{7+ \sqrt{9}} =\sqrt {10}$

$\sqrt{7 + \sqrt{6 + \sqrt{9}}} = \sqrt{7+ \sqrt{9}} =\sqrt {10}$

mick7 · #4

#5

Ωραιότατα, και ευχαριστούμε για την απάντηση.

Όμως, η ουσία σε αυτό που γράφω είναι ότι δεν χρειάζεται κομπιουτεράκι. Αυτό που παραθέτεις γίνεται μόνο με υπολογιστική μηχανή, δηλαδή είναι απόλυτα "μηχανικός" τρόπος. Η μηχανή δεν έχει παρά να δοκιμάσει όλους τους $9\times 8 \times 7 =504$ τρόπους, και από αυτούς να επιλέξει το πλησιέστερο στο $\pi$ , διαδικασία που είναι απαγορευτική στον άνθρωπο.

Για να το πω με χιούμορ, αν ήταν να εργαστούμε με κομπιουτεράκι, τότε ο φάκελος της ερώτησης δεν έπρεπε να ήταν ο "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" αλλά μάλλον ο "Διασκεδάστικά μη-Μαθηματικά".

mick7 · #6

Μπορούμε να βρούμε κάτι ανάλογο και για τις σταθερές

και $\varphi$ (χρυσή τομή)

KARKAR · #7

#8

KARKAR έγραψε: Παρ Δεκ 05, 2025 5:42 pm $\sqrt{5+\sqrt{4+\sqrt3}}}\simeq 2.7192$

.
Επιβεβαιώνω ότι με χρήση υπολογιστή βρήκα ότι ο παραπάνω αριθμός είναι η καλύτερη δυνατή προσέγγιση του

, και είναι καθ' υπεροχήν:

$\sqrt{5+\sqrt{4+\sqrt3}}} - e \approx 0,000940518273809$

H δεύτερη καλύτερη παράσταση τυχαίνει να είναι η καλύτερη κατ' έλλειψη, και είναι αρκετά κοντά στην προηγούμενη:

$e- \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt6}}} \approx 0,000983636340713$ .

Για σύγκριση, υπενθυμίζω $e\approx 2,719222346732854$ και tα παραπάνω είναι

$\sqrt{5+\sqrt{4+\sqrt3}}} \approx 2,719222346732854$ και $\sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt6}}} \approx 2,7172981921183323$

KARKAR · #9

#10

Είναι

$\phi = \dfrac {1+\sqrt 5} {2} \approx 1,618033988749895$

με καλύτερη προσέγγιση, με υπολογιστή, την

$\sqrt {1 + \sqrt { 2+ \sqrt 3}}} \approx 1,7122650649295326$ , δηλαδή σφάλμα 0,0942310761796377

και δεύτερη καλύτερη την

$\sqrt { 1+ \sqrt {2 + \sqrt 4}}} \approx 1,7320508075688772$ , δηλαδή σφάλμα 0,114016818819

Και έτσι μπήκαμε στον χώρο των Διασκεδαστικών μη-Μαθηματικών.

Προσέγγιση

Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Re: Προσέγγιση

Μέλη σε σύνδεση