Επίμονα ορθογώνιο

KARKAR · #1

Αν στο ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 5 , 12 , 13

, αυξήσουμε τις κάθετες πλευρές κατά

και την υποτείνουσα

κατά

το τρίγωνο που προκύπτει είναι επίσης ορθογώνιο .

Μπορείτε να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο τέτοιο , ώστε αν αυξήσουμε τις κάθετες πλευρές κατά

και την υποτείνουσα κατά

το τρίγωνο που προκύπτει , να είναι επίσης ορθογώνιο ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 9:30 pm
Μπορείτε να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο τέτοιο , ώστε αν αυξήσουμε τις κάθετες πλευρές κατά

και την υποτείνουσα κατά το τρίγωνο που προκύπτει , να είναι επίσης ορθογώνιο ;

.
Δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. Αλλιώς για κάποιους θετικούς αριθμούς a,b,c

θα ίσχυε

και

. Βασικά από δω και πέρα προσπαθούμε να λύσουμε το σύστημα ως προς b,c

συναρτήσει του

Αφαιρώντας κατά μέλη προκύπτει ισοδύναμα $\boxed {2a+1= b+c}$ . Έτσι η πρώτη τώρα δίνει

a^2=^(b+c)^2-2bc= (2a+1)^2-2bc

και άρα $\boxed {bc= \dfrac {1}{2}(3a^2+4a+1)}$

Δηλαδή τα b,c

είναι ρίζες της $x^2-(2a+1)x+\dfrac {1}{2}(3a^2+4a+1)=0$ .

Αλλά αυτή έχει αρνητική διακρίνουσα, την $(2a+1)^2-\dfrac {4}{2}(3a^2+4a+1)= -2a^2-4a-1$ .

Άρα δεν έχουμε ρίζες.

(Από κάτω θα γράψω μία απλή, απόλυτα γεωμετρική λύση).

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 9:30 pm
Μπορείτε να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο τέτοιο , ώστε αν αυξήσουμε τις κάθετες πλευρές κατά

και την υποτείνουσα κατά το τρίγωνο που προκύπτει , να είναι επίσης ορθογώνιο ;

.

: Επίμονο.png (4.26 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές

'
Θα δείξουμε ότι αν ABC

ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές (a,b,c)

, τότε το ορθογώνιο τρίγωνο ADE

με πλευρές AD=b+1,AE=c+1

αποκλείεται να έχει υποτείνουσα μήκους a+2

.

Πράγματι, DE< DB+BC+CE = 1+a+1=a+2

. Δηλαδή η υποτείνουσα είναι γνήσια μικρότερη του a+2

, όποιο και αν ήταν το αρχικό ορθογώνιο τρίγωνο.

Επίμονα ορθογώνιο

Επίμονα ορθογώνιο

Re: Επίμονα ορθογώνιο

Re: Επίμονα ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση