Ακέραιοι χαρακτήρες

KARKAR · #1

: Ακέραιοι χαρακτήρες.png (13.89 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=d

, θεωρούμε τις διαδοχικές χορδές AS=3

και

. Θέλουμε

η χορδή PB=x

, καθώς και η

να έχουν ακέραια μήκη . Βρείτε τρεις τουλάχιστον λύσεις !

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 28, 2026 11:27 am Ακέραιοι χαρακτήρες.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε τις διαδοχικές χορδές και . Θέλουμε

η χορδή , καθώς και η να έχουν ακέραια μήκη . Βρείτε τρεις τουλάχιστον λύσεις !

.
Από το Θεώρημα Πτολεμαίου είναι

AP\cdot SB= 3AB+3BP

, ισοδύναμα

\sqrt {d^2-3^2}\sqrt {d^2-x^2}= 3d+3x

. Υψώνοντας στο τετράγωνο και απλοποιώντας θα βρούμε

d^2-dx-18=0

που ως δευτεροβάθμια δίνει

d=\dfrac {x+\sqrt {x^2+72}}{2}

Θέλουμε λοιπόν τρεις τιμές ακέραιες του

που δίνουν ακέραιο

.

Με δοκιμές (ή με απλό συλλογισμό αξιοποιώντας το

x^2+72=a^2

, ισοδύναμα

(a-x)(a+x)=72=2^3\cdot 3^2

) θα βρούμε τις λύσεις

α)

\boxed {x=3, \, d=6}

, β)

\boxed {x=7, \, d=9}

και γ)

\boxed {x=17, \, d=18}

. Και λοιπά. Τελειώσαμε.

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 28, 2026 11:27 am Ακέραιοι χαρακτήρες.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε τις διαδοχικές χορδές και . Θέλουμε

η χορδή , καθώς και η να έχουν ακέραια μήκη . Βρείτε τρεις τουλάχιστον λύσεις !

3\left( {3 + 3} \right) = md \Rightarrow md = 18

m = 1\,\,\,,d = 18\,\,\,

ή

m = 2\,\,,d = 9

ή

m = 3\,\,\,\,,\,\,\,d = 6

. τέλος .

: Ακέραιοι χαρακτήρες.png (21.62 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές

Λίγο πιο αργά πλήρη λύση

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 28, 2026 11:27 am Ακέραιοι χαρακτήρες.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , θεωρούμε τις διαδοχικές χορδές και . Θέλουμε

η χορδή , καθώς και η να έχουν ακέραια μήκη . Βρείτε τρεις τουλάχιστον λύσεις !

Ας είναι

το σημείο τομής των

AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BP

. Επειδή οι χορδές

SA = SP = 3

θα είναι , $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ και άρα το τρίγωνο

BTA

είναι ισοσκελές με κορυφή το

, οπότε η

θα είναι και διάμεσος , άρα

\boxed{SA = SP = ST = 3}

. Θέτω το

TP = m

.

: Ακέραιοι χαρακτήρες.png (22.51 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές

Θα είναι

\boxed{m + x = d}\,\,\,\left( 1 \right)

και αναγκαστικά το

είναι ακέραιος . Από την ομοιότητα των

\vartriangle TSP\,\,,\,\,\vartriangle TBA

( η με δύναμη σημείου) ,

TS \cdot TA = TP \cdot TB \Rightarrow 3\left( {3 + 3} \right) = md \Rightarrow \boxed{md = 18}

. Για το

έχουμε τρεις δυνατότητες ακεραίου :

α) m = 1

, τότε

d = 18

και λόγω της $\left( 1 \right)$ ,

x = 17

. Όμοια δε

β)

m = 2\,\,,\,\,d = 9,\,\,x = 7

γ)

m = 3\,\,\,,\,\,d = 6\,\,\,,\,\,x = 3

Ακέραιοι χαρακτήρες

Ακέραιοι χαρακτήρες

Re: Ακέραιοι χαρακτήρες

Re: Ακέραιοι χαρακτήρες

Re: Ακέραιοι χαρακτήρες

Μέλη σε σύνδεση