mathematica.gr

Καλησπέρα σας!
Δημοσιεύω το κείμενο της εργασίας που εκπονήσαμε και παρουσιάσαμε μαζί με τη συνάδελφο Μαρία Σαμπάνη για το συνέδριο "Νέος Παιδαγωγός"
με τίτλο: "Τριγωνομετρία : Από τη μέτρηση των άστρων στην καθημερινή ζωή " .
Ένα μικρό και γρήγορο ταξίδι στην Ιστορία της Τριγωνομετρίας, στην αξία των πρακτικών εφαρμογών των Μαθηματικών από διδακτικής άποψης
και φυσικά μέσα από ένα μάθημα που σχεδιάσαμε για την βασικότατη έννοια της κλίσης και πως μπορεί αυτή να βοηθήσει να μετρηθούν ύψη απρόσιτων αντικειμένων με πολύ απλά και εύχρηστα υλικά.
Το μάθημα έγινε πραγματικότητα στα σχολεία που υπηρετούμε.
Μαζί ανεβάζουμε ένα έξτρα φύλλο εργασίας με την ελπίδα να είναι χρήσιμο για όποιον συνάδελφο θελήσει να εκτελέσει αυτήν τη δραστηριότητα στο σχολείο του ή όπου αλλού αυτός επιθυμεί.
Εννοείται πως αναμένουμε με χαρά τα σχόλια σας και τις παρατηρήσεις σας.
Να είστε καλά και καλή συνέχεια!

chris_gatos έγραψε: ↑

Δευ Μάιος 13, 2019 10:14 pm

Καλησπέρα σας!

Μαζί ανεβάζουμε ένα έξτρα φύλλο εργασίας με την ελπίδα να είναι χρήσιμο για όποιον συνάδελφο θελήσει να εκτελέσει αυτήν τη δραστηριότητα στο σχολείο του ή όπου αλλού αυτός επιθυμεί.
Εννοείται πως αναμένουμε με χαρά τα σχόλια σας και τις παρατηρήσεις σας.
Να είστε καλά και καλή συνέχεια!

Χρήστο ευχαριστούμε. Προγραμματίζω τη δραστηριότητα για τη μαθηματική ομάδα του σχολείου μας την επόμενη χρονιά.

Ασφαλώς θα ενημερώσω για τα αποτελέσματα της δράσης.

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑

Τετ Μάιος 15, 2019 10:21 pm

Χρήστο ευχαριστούμε. Προγραμματίζω τη δραστηριότητα για τη μαθηματική ομάδα του σχολείου μας την επόμενη χρονιά.

Ασφαλώς θα ενημερώσω για τα αποτελέσματα της δράσης.

Να είσαι καλά Γιώργο! Εμείς ευχαριστούμε πολύ. Ευχόμαστε καλή διασκέδαση!

Χωρίς να έχω ουσιαστική πείρα διδασκαλίας, θεωρώ ότι η "εργαλειακή" θεώρηση είναι πολύ χρήσιμη στην εμπέδωση των μαθηματικών, παρά τον πολύ χρόνο που απαιτεί. Βλέποντας τα βιβλία άλγεβρας (+τριγωνομετρίας) των παιδιών μου στο παρελθόν, σκεπτόμουν ότι τέτοιες ενέργειες θα ανέβαζαν το ενδιαφέρον τους για τα Μαθηματικά και θα βοηθούσαν στην εξάλειψη τυχόν αντιπαθειών για το μάθημα. Δεν πρόκειται για τη διδακτική αρχή "από των παραδειγμάτων εις την θεωρίαν, από των συγκεκριμένων εις τα αφηρημένα" που υποστήριζε ο Ν. Δ. Νικολάου (π.χ. Στοιχειώδης Άλγεβρα, 1932, Πρόλογος). Αλλά εφαρμογή της θεωρίας σε πρακτικές εφαρμογές, που και αυτή βοηθά πολύ στην αποκρυστάλλωση εννοιών και ιδιοτήτων. Άλλωστε "σκοπός της Τριγωνομετρίας είναι ο υπολογισμός αγνώστων στοιχείων τριγώνου, αν δοθούν επαρκή στοιχεία" (κατά τη Σχολική Τριγωνομετρία Ν. Δ. Νικολάου).
Όσον αφορά τη δραστηριότητα 3 (μέτρηση ύψους βουνού), κατά τη γνώμη μου γίνεται μια (απλουστευτική) παραδοχή: Η ευθεία που ορίζεται από την αρχική θέση Α και το πίσω σημείο (έστω Β, ευθεία ΑΒ, όπου (ΑΒ)=300 m) περνά από την τομή του ύψους του βουνού με το οριζόντιο επίπεδο του εδάφους (έστω Θ). Τούτο δεν είναι εύκολο να επιτευχθεί σε βουνό, σε αντίθεση με π.χ. πύργο, ακόμη και αν η βάση του δεν είναι προσιτή (αλλά μόνο ορατή). Στη γενική περίπτωση του ύψους βουνού, η ΑΒ δεν περνά από το Θ και λύση παρουσιάζεται στη σχολική Τριγωνομετρία Ν. Δ. Νικολάου, Κεφ Γ "Τοπογραφικαί Εφαρμογαί ", παραγραφος 69 (σελ. 94). Εκεί και σε άλλα σημεία της Τριγωνομετρίας του παρουσιάζονται αρκετές τοπογραφικές εφαρμογές με σχετικές ασκήσεις .
Είχα κάποτε προσπαθήσει να υπολογίσω το ύψος του βουνού Κακοτοπιά (παραλία Καλάμου Αττικής) γνωρίζοντας από χάρτη ότι είναι 464 m . Το βρήκα περίπου 280 m. Μου φαίνεται ότι έλαβα πολύ μικρή απόσταση (ΑΒ)=10 m μέσα στην αυλή και αυτή ήταν η κύρια αιτία σφάλματος (οι γωνίες μετρήθηκαν με τοπογραφικό όργανο). Ίσως είναι σκόπιμο να γίνει η δραστηριότητα από τον διδάσκοντα και κατόπιν να δοθεί στους μαθητές, αφού ελεγχθεί χονδρικά το αποτέλεσμα.

Σας ευχαριστούμε θερμά για τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας.

Επιτρέψτε μου όμως όσον αφορά τα παρακάτω γραφόμενα σας:

kkala έγραψε: ↑

Παρ Μάιος 17, 2019 12:10 am

Όσον αφορά τη δραστηριότητα 3 (μέτρηση ύψους βουνού), κατά τη γνώμη μου γίνεται μια (απλουστευτική) παραδοχή: Η ευθεία που ορίζεται από την αρχική θέση Α και το πίσω σημείο (έστω Β, ευθεία ΑΒ, όπου (ΑΒ)=300 m) περνά από την τομή του ύψους του βουνού με το οριζόντιο επίπεδο του εδάφους (έστω Θ). Τούτο δεν είναι εύκολο να επιτευχθεί σε βουνό, σε αντίθεση με π.χ. πύργο, ακόμη και αν η βάση του δεν είναι προσιτή (αλλά μόνο ορατή). Στη γενική περίπτωση του ύψους βουνού, η ΑΒ δεν περνά από το Θ και λύση παρουσιάζεται στη σχολική Τριγωνομετρία Ν. Δ. Νικολάου, Κεφ Γ "Τοπογραφικαί Εφαρμογαί ", παραγραφος 69 (σελ. 94). Εκεί και σε άλλα σημεία της Τριγωνομετρίας του παρουσιάζονται αρκετές τοπογραφικές εφαρμογές με σχετικές ασκήσεις .
Είχα κάποτε προσπαθήσει να υπολογίσω το ύψος του βουνού Κακοτοπιά (παραλία Καλάμου Αττικής) γνωρίζοντας από χάρτη ότι είναι 464 m . Το βρήκα περίπου 280 m. Μου φαίνεται ότι έλαβα πολύ μικρή απόσταση (ΑΒ)=10 m μέσα στην αυλή και αυτή ήταν η κύρια αιτία σφάλματος (οι γωνίες μετρήθηκαν με τοπογραφικό όργανο). Ίσως είναι σκόπιμο να γίνει η δραστηριότητα από τον διδάσκοντα και κατόπιν να δοθεί στους μαθητές, αφού ελεγχθεί χονδρικά το αποτέλεσμα.

Ίσως ήταν παράλειψή μας αλλά συνεχώς αναφέραμε στους μαθητές μας πως, λόγω του "πρωτόγονου" των οργάνων που χρησιμοποιούμε θα χάσουμε σε ακρίβεια όπως και να έχει. Αλλιώς θα έχαναν (κοντολογίς δε θα είχαν νόημα) οι σπουδές του Τοπογράφου Μηχανικού. Ο σκοπός μας ήταν να βγουν τα παιδιά έξω και με χρήση απλών οργάνων να εφαρμόσουν όσα μαθαίνουν στη θεωρία. Ποτέ δεν είπαμε πως ένα μοιρογνωμόνιο, μια κλωστή, ένα καπάκι στυλό κι ένα καλαμάκι θα ανακαλύψουν την πυρίτιδα.
Ωστόσο δε θα ξεχάσω ποτέ την έκπληξη και τη χαρά στα μάτια ακόμη και μαθητών της θεωρητικής όταν "ανακάλυπταν" στο θεωρητικό κομμάτι της δραστηριότητας πως αυτή η έννοια που μάθαιναν από το Γυμνάσιο, των εντός εκτός και επί τα αυτά γωνιών θα εφαρμόζονταν σε μια τέτοια δραστηριότητα. Για μένα εκεί ήταν όλο το ζουμί και όχι στην ακρίβεια. Ειδικά αυτήν την εποχή που τα Μαθηματικά περνούν σιγά σιγά σε ρόλο κομπάρσου.
Σας ευχαριστούμε και πάλι.

Χρήστο σε ευχαριστούμε θερμά και ειλικρινά. Τα μαθηματικά, έστω και αν οι άσχετοι με το άθλημα τα θέλουν κομπάρσους, είναι όπως ο ρόλος του Μάρλον Μπράντο στο έργο "αποκάλυψη τώρα" του Κόπολα, αφού ενώ έπαιξε "αφύσικα" ελάχιστα κέρδισε μακράν το Όσκαρ με τα λεφτά του οποίου έσωσε κάποιες αρκετές περιουσίες Ινδιάνων που είχε υφαρπάξει με νόμο το .......... όνειρο ..... (πολλά τα λεφτά από την τεράστια επιτυχία της ταινίας... αλλά δεν του έμεινε τίποτα από αυτά αφού πήγαν στους Ινδιάνους).

chris_gatos έγραψε: ↑

Παρ Μάιος 17, 2019 6:24 pm

Ίσως ήταν παράλειψή μας αλλά συνεχώς αναφέραμε στους μαθητές μας πως, λόγω του "πρωτόγονου" των οργάνων που χρησιμοποιούμε θα χάσουμε σε ακρίβεια όπως και να έχει. Αλλιώς θα έχαναν (κοντολογίς δε θα είχαν νόημα) οι σπουδές του Τοπογράφου Μηχανικού. Ο σκοπός μας ήταν να βγουν τα παιδιά έξω και με χρήση απλών οργάνων να εφαρμόσουν όσα μαθαίνουν στη θεωρία. Ποτέ δεν είπαμε πως ένα μοιρογνωμόνιο, μια κλωστή, ένα καπάκι στυλό κι ένα καλαμάκι θα ανακαλύψουν την πυρίτιδα.
Ωστόσο δε θα ξεχάσω ποτέ την έκπληξη και τη χαρά στα μάτια ακόμη και μαθητών της θεωρητικής όταν "ανακάλυπταν" στο θεωρητικό κομμάτι της δραστηριότητας πως αυτή η έννοια που μάθαιναν από το Γυμνάσιο, των εντός εκτός και επί τα αυτά γωνιών θα εφαρμόζονταν σε μια τέτοια δραστηριότητα. Για μένα εκεί ήταν όλο το ζουμί και όχι στην ακρίβεια. Ειδικά αυτήν την εποχή που τα Μαθηματικά περνούν σιγά σιγά σε ρόλο κομπάρσου. Σας ευχαριστούμε και πάλι.

Συμφωνώ με τα παραπάνω, που ήδη δίνουν στους μαθητές ευκαιρία για σαφέστερη κατανόηση και γνώση της τριγωνομετρίας. Οι μαθητές πρέπει να χρησιμοποιούν απλά όργανα, τα ειδικευμένα μπερδεύουν και άλλωστε δεν είναι διαθέσιμα. Μπορώ να νοιώσω τον ενθουσιασμό και των μαθητών και του δασκάλου, και αυτό είναι το πιό σπουδαίο.
Όπως έχω καταλάβει τη δραστηριότητα 3 (ύψος όρους), κάποιες χρήσιμες διευκρινίσεις στα σχόλια του σημειώματος Νο 3, όπου και επεξηγούνται τα Α, Β, Θ.
1. Στην πράξη δεν μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι τα Θ, Α, Β είναι συνευθειακά (Θ άγνωστο μέσα στο βουνό), οπότε η ενδεδειγμένη θεωρητικά λύση είναι κάτι σαν αυτή της παραγράφου 69 (σελ. 97) της σχολικής Τριγωνομετρίας Ν. Δ. Νικολάου.
Υπολογισμός ύψους π.χ. πύργου (ή στύλου, αντί βουνού) μέσα σε έλος (απρόσιτη βάση, αλλά ορατή) κρίνεται πως μπορεί να γίνει με τη μέθοδο που αναγράφεται στο συνημμένο "Τριγωνομετρία : Από τη μέτρηση των άστρων στην καθημερινή ζωή", που είναι απλούστερος. Με ένα καλάμι στημένο στο Α, μπορούμε να εκλέξουμε το Β ώστε: κέντρο της βάσης του πύργου, Α, Β να είναι στην ίδια ευθεία.
2. Η ακρίβεια των μετρήσεων δεν έχει βέβαια προτεραιότητα στην περίπτωσή μας, αλλά καλό είναι τα αποτελέσματα να μην έρχονται σε προφανή αντίθεση με ό τι βλέπουμε, αλλοιώς χάνεται η εμπιστοσύνη των μαθητών στη μεθοδολογία. Π.χ. αν υπολογίσω ένα πύργο 25 m και είναι στην πραγματικότητα 50 m έχει καλώς. Τι γίνεται όμως αν υπολογίσω 10 η 5 m. Κατάλληλα δεδομένα (π.χ. απόσταση ΑΒ, γωνίες) αυξάνουν την ακρίβεια ώστε να βγεί κάποιο αληθοφανές αποτέλεσμα από τις ομάδες, ιδίως όταν διαθέτουν απλά όργανα χωρίς ακρίβεια. Για αυτό φαίνεται σκόπιμο να "επιλύεται" η δραστηριότητα από τον διδάσκοντα για έλεγχο, πρίν δοθεί στούς μαθητές. Ίσως βέβαια λέω κάτι αυτονόητο.
Ανάφερα συγκεκριμένα το παράδειγμα της "Κακοτοπιάς" για να δείξω μια πηγή σφάλματος . Οι μετρήσεις γωνιών με τοπογραφικό όργανο απλά ελαχιστοποιούσαν τις ανακρίβειες στις γωνίες, ώστε να φανεί η κύρια προέλευση του σφάλματος (μικρό μήκος ΑΒ).

Και κάτι που δεν ανάφερα στο σημείωμα 3: Υπήρχαν μαθητές που δεν πρόσεχαν σχεδόν καθόλου τη θεωρία, απλά κοίταζαν μόνο τις ασκήσεις με καταστροφικό κατά τη γνώμη μου αποτέλεσμα. Φθάναν δηλαδή στο άλλο άκρο.

chris_gatos έγραψε: ↑

Πέμ Μάιος 16, 2019 12:34 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑

Τετ Μάιος 15, 2019 10:21 pm

Χρήστο ευχαριστούμε. Προγραμματίζω τη δραστηριότητα για τη μαθηματική ομάδα του σχολείου μας την επόμενη χρονιά.

Ασφαλώς θα ενημερώσω για τα αποτελέσματα της δράσης.

Να είσαι καλά Γιώργο! Εμείς ευχαριστούμε πολύ. Ευχόμαστε καλή διασκέδαση!

Χρήστο, μπορεί να αργήσαμε, αλλά τις υποσχέσεις μας τις υλοποιούμε! Ας όψεται η καραντίνα που μάς εμπόδισε τα δύο προηγούμενα χρόνια να δουλέψουμε με τη μαθηματική μας ομάδα. Τα παιδιά και ενδιαφέρθηκαν και συμμετείχαν και (πιστεύω ότι) έμαθαν και κυρίως το χάρηκαν.

Στους συνδέσμους, δείτε σχετικές αναρτήσεις στις ιστοσελίδες του σχολείου μας. ΕΔΩ (fb) και ΕΔΩ (blog)

(Αναζητήστε αναρτήσεις: Μέτρηση απρόσιτων υψών)