B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1979 (επαναληπτικές)

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1979 (επαναληπτικές)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Ιουν 11, 2013 11:32 pm

Οι εξετάσεις επαναλήφθηκαν λόγω διαρροής των θεμάτων εδώ.


1. Να δειχθεί η ισότητα \displaystyle{\frac{\eta \mu 2\alpha }{1+\sigma \upsilon \nu 2\alpha }\cdot \frac{\sigma \upsilon \nu \alpha }{1+\sigma \upsilon \nu \alpha }=\varepsilon \phi \frac{\alpha }{2}}.


2. Σε ένα κύκλο \displaystyle{(O,R)} να εγγραφεί κανονικό τρίγωνο (ισόπλευρο) και να υπολογιστεί η πλευρά και το απόστημά του από την ακτίνα του κύκλου.


3.α. Αν \displaystyle{z\ne -1+0i} και \displaystyle{z\ne 1+0i} , δείξτε ότι :
i) Όταν \left| z \right|=1 τότε ο αριθμός \displaystyle{\frac{z-1}{z+1}} είναι καθαρός φανταστικός.
ii) Όταν ο αριθμός \displaystyle{\frac{z-1}{z+1}} είναι καθαρός φανταστικός τότε \left| z \right|=1.
β. Να βρείτε το μέτρο και το όρισμα του μιγαδικού z=-\sigma \upsilon \nu \theta +i\eta \mu \theta.


4.α. Έστω \displaystyle{V} ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα \displaystyle{K}. Αν \displaystyle{A} και \displaystyle{B} είναι διανυσματικοί υπόχωροι του \displaystyle{V},
να δείξετε ότι το σύνολο A\cap B δεν είναι το κενό και μάλιστα είναι υπόχωρος του \displaystyle{ V}.
β. Αν \displaystyle{x,y,z} είναι τρία γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία ενός γραμμικού διανυσματικού χώρου,
να δείξετε ότι και τα στοιχεία \displaystyle{x, y-x, z-x} είναι επίσης γραμμικώς ανεξάρτητα .


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1979 (επαναληπτικές)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Ιουν 13, 2013 9:09 pm

parmenides51 έγραψε:

4.α. Έστω \displaystyle{V} ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα \displaystyle{K}. Αν \displaystyle{A} και \displaystyle{B} είναι διανυσματικοί υπόχωροι του \displaystyle{V},
να δείξετε ότι το σύνολο A\cap B δεν είναι το κενό και μάλιστα είναι υπόχωρος του \displaystyle{ V}.
β. Αν \displaystyle{x,y,z} είναι τρία γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία ενός γραμμικού διανυσματικού χώρου,
να δείξετε ότι και τα στοιχεία \displaystyle{x, y-x, z-x} είναι επίσης γραμμικώς ανεξάρτητα .
Καλησπέρα.

α)Εφόσον τα σύνολα \displaystyle{A} και \displaystyle{B} είναι διανυσματικοί υπόχωροι του \displaystyle{V}, έπεται ότι

\displaystyle{\left(\vec{0}\in A\ \land\, \vec{0}\in B\right)\Rightarrow \vec{0}\in A\cap B\Rightarrow A\cap B\neq \varnothing}

Έστω \displaystyle{x,y\in A\cap B} και \displaystyle{m,k\in K}.Τότε θα ισχύει,

\displaystyle{\left(mx+ky\in A\ \land\,mx+ky\in B\right)\Rightarrow mx+ky\in A\cap B}, γεγονός που αποδεικνύει ότι το σύνολο

\displaystyle{A\cap B} είναι διανυσματικός υπόχωρος του \displaystyle{V}.

β)Έστω \displaystyle{a,b,c\in K} τέτοια, ώστε \displaystyle{ax+b(y-x)+c(z-x)=0}.Συνεπώς,

\displaystyle{\left(a-b-c\right)x+by+cz=0}.

Επειδή τα στοιχεία \displaystyle{x,y,z} είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, έχουμε ότι

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
                             a-b-c=0\\ 
                             0a+b-0c=0\\ 
                             0a+0b+c=0 
                            \end{matrix}\Leftrightarrow a=b=c=0}

και άρα τα στοιχεία \displaystyle{x\,,y-x\,,z-x} είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1979 (επαναληπτικές)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Ιουν 13, 2013 9:23 pm

parmenides51 έγραψε:

1. Να δειχθεί η ισότητα \displaystyle{\frac{\eta \mu 2\alpha }{1+\sigma \upsilon \nu 2\alpha }\cdot \frac{\sigma \upsilon \nu \alpha }{1+\sigma \upsilon \nu \alpha }=\varepsilon \phi \frac{\alpha }{2}}.
Είναι,

\begin{aligned}\displaystyle{\frac{\eta \mu\, 2\alpha }{1+\sigma \upsilon \nu\, 2\alpha }\cdot \frac{\sigma \upsilon \nu\, \alpha }{1+\sigma \upsilon \nu \alpha }&=\frac{ \eta \mu\, 2\alpha }{2 \sigma \upsilon \nu ^2\, \alpha}\cdot \frac{\sigma \upsilon \nu\, \alpha }{1+\sigma \upsilon \nu\, \alpha }\\&=\frac{2 \eta \mu\, \alpha  \cdot \sigma \upsilon \nu^2\, \alpha}{2 \sigma \upsilon \nu ^2\, \alpha\cdot \left(1+\sigma \upsilon \nu\, \alpha\right)}\\&=\frac{\eta \mu\, \alpha}{1+\sigma \upsilon \nu\, \alpha}\\&=\frac{2 \eta \mu\, \frac{\alpha}{2}\cdot \sigma \upsilon \nu\, \frac{\alpha}{2}}{2 \sigma \upsilon \nu^2\, \frac{\alpha}{2}}\\&=\frac{\eta \mu\, \frac{\alpha}{2}}{\sigma \upsilon \nu\, \frac{\alpha}{2}}\\&=\varepsilon \phi\, \frac{\alpha}{2}\end{aligned}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1979 (επαναληπτικές)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Πέμ Ιουν 13, 2013 9:50 pm

3.α. Αν \displaystyle{z\ne -1+0i} και \displaystyle{z\ne 1+0i} , δείξτε ότι :
i) Όταν \left| z \right|=1 τότε ο αριθμός \displaystyle{\frac{z-1}{z+1}} είναι καθαρός φανταστικός.
ii) Όταν ο αριθμός \displaystyle{\frac{z-1}{z+1}} είναι καθαρός φανταστικός τότε \left| z \right|=1.
β. Να βρείτε το μέτρο και το όρισμα του μιγαδικού z=-\sigma \upsilon \nu \theta +i\eta \mu \theta.
α. i) Αν \left| z \right| = 1 \Leftrightarrow z\bar z = 1 \Leftrightarrow \bar z = \frac{1}{z}

\displaystyle\overline {\left( {\frac{{z - 1}}{{z + 1}}} \right)}  = \frac{{\bar z - 1}}{{\bar z + 1}} = \frac{{\frac{1}{z} - 1}}{{\frac{1}{z} + 1}} = \frac{{1 - z}}{{z + 1}} =  - \frac{{z - 1}}{{z + 1}}

Άρα \displaystyle\frac{{z - 1}}{{z + 1}} \in I

ii) Αν \displaystyle\frac{{z - 1}}{{z + 1}} \in I τότε:

\displaystyle\frac{{z - 1}}{{z + 1}} =  - \overline {\left( {\frac{{z - 1}}{{z + 1}}} \right)}  \Rightarrow \frac{{z - 1}}{{z + 1}} = \frac{{1 - \bar z}}{{\bar z + 1}} \Leftrightarrow z\bar z + z - \bar z - 1 = z - z\bar z + 1 - \bar z \Rightarrow

2z\bar z = 2 \Rightarrow \left| z \right| = 1

β) Είναι \left| z \right| = \sqrt {\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta  + \eta {\mu ^2}\theta }  \Rightarrow \left| z \right| = 1

z =  - \sigma \upsilon \nu \theta  + i\eta \mu \theta  \Rightarrow z = \left| z \right|\left[ {\sigma \upsilon \nu \left( {\pi  - \theta } \right) + i\eta \mu \left( {\pi  - \theta } \right)} \right]

Άρα Arg(z) = \pi  - \theta


Ηλίας Καμπελής
Karanus
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 16, 2011 12:30 pm

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1979 (επαναληπτικές)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Karanus » Πέμ Ιουν 13, 2013 9:51 pm

Δεν θα λύσω κάποιο θέμα. Άλλωστε είχα λύσει κάποια από αυτά τότε...
Αξίζει όμως να διαβάσει κανείς την παραπομπή και ξανά την παραπομπή του "Parmenides" ώστε να φτάσει στο σχόλιο του Γιώργου του Ρίζου.
Παθών και εγώ,βεβαίως.


Γιώτα
Δημοσιεύσεις: 72
Εγγραφή: Πέμ Απρ 07, 2011 3:52 pm

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1979 (επαναληπτικές)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώτα » Πέμ Ιουν 13, 2013 11:29 pm

2. Σε ένα κύκλο \displaystyle{(O,R)} να εγγραφεί κανονικό τρίγωνο (ισόπλευρο) και να υπολογιστεί η πλευρά και το απόστημά του από την ακτίνα του κύκλου.

Επειδή AK, BL διάμεσοι ισχύει ότι: OK=\frac{R}{2}
Επομενως AK=R+\frac{R}{2}=\frac{3R}{2}
Aρα στο τρίγωνοABK έχω ότι ημ60=\frac{AK}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3R}{2AB}\Rightarrow AB=\sqrt{3}R
H πλευρά του τριγώνου είναι ίση με \sqrt{3}R και το απόστημα ίσο με \frac{R}{2}
Συνημμένα
34.png
34.png (15.02 KiB) Προβλήθηκε 1355 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Πανελλήνιες Εξετάσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης