ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Ιουν 14, 2013 1:41 am

Ας ξεκινήσουμε να κινούμαστε και προς τα πίσω με τα θέματα των Κύκλων.
Συνήθως ήταν ξεχωριστά τα θέματα Άλγεβρας , Γεωμετρίας και Τριγωνομετρίας.
Τα αρχικά σημαίνουν ΠΟΛΥΤΕΧΝ(ΙΚΟΣ) - ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ(ΗΜΑΤΙΚΟΣ) -ΓΕΩ(ΠΟΝΟ)ΔΑΣ(ΟΛΟΓΙΚΟΣ) ΚΥΚΛΟΣ .
Άλλοτε οι παραπάνω κύκλοι είχαν διαφορετικά θέματα, άλλοτε είχαν κοινά θέματα.
Ταξινομημένα συγκεντρώνονται και τα παραπάνω θέματα σαν προτείνονται στο Ευρετήριο Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων.



1. Αν \Pi (x)={{x}^{2}}+2\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|x+\left( 1+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}} \right)\left( 1+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right), όπου {{z}_{1}},{{z}_{2}} είναι δοσμένοι μιγαδικοί αριθμοί,
να δείξετε ότι \Pi (x)\ge 0 για κάθε πραγματικό αριθμό \displaystyle{x}. Πότε μπορεί να ισχύει η ισότητα;


2. α) Τι καλείται συνδυασμός των \displaystyle{\nu} πραγμάτων ανά \displaystyle{\kappa};
β) Να αποδείξετε τον τύπο που δίνει το πλήθος των συνδυασμών των \displaystyle{\nu} πραγμάτων ανά \displaystyle{\kappa}. Υποτίθεται ότι 1\le \kappa \le \nu.


3. α) Πότε μια συνάρτηση \displaystyle{\phi(x)} λέγεται συνεχής σε ένα σημείο {{x}_{0}} του πεδίου ορισμού της;
Πότε μια συνάρτηση \displaystyle{\phi(x)} λέγεται συνεχής σε ένα διάστημα;
β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \displaystyle{\phi(x)} που δίνεται από το τύπο \displaystyle{\phi (x)={{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x},\,\,x\ne 0}
και \displaystyle{\phi(0)=0} είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.


4. Δίνεται ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές \displaystyle{\Pi(x)} βαθμού \ge 2.
α) Να δείξετε ότι αν ο πραγματικός αριθμός \displaystyle{\rho} είναι πολλαπλή ρίζα του \displaystyle{\Pi(x)} τότε ο \displaystyle{\rho} είναι ρίζα της παραγώγου του \displaystyle{\Pi(x)}.
β) Με τη βοήθεια της προηγούμενης ιδιότητας να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{\alpha} και \displaystyle{ \beta} ώστε
το πολυώνυμο \Pi (x)={{x}^{4}}+(\alpha -\beta ){{x}^{3}}+2\alpha {{x}^{2}}-5x+4 να έχει πολλαπλή ρίζα τον αριθμό \displaystyle{1}.


edit
Απλούστευση ονομασίας
μετονομασία
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Παρ Ιουν 21, 2013 1:44 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1540
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Ιουν 14, 2013 9:18 am

ΘΕΜΑ 2.
α) Τι καλείται συνδυασμός των \displaystyle{\nu} πραγμάτων ανά \displaystyle{\kappa};
β) Να αποδείξετε τον τύπο που δίνει το πλήθος των συνδυασμών των \displaystyle{\nu} πραγμάτων ανά \displaystyle{\kappa}. Υποτίθεται ότι 1\le \kappa \le \nu.

ΛΥΣΗ

α) Έστω το σύνολο \displaystyle{\,\,A = \left\{ {{\alpha _1},{\alpha _2},...,{\alpha _\nu }} \right\}\,\,\,\,}
Συνδυασμό των \displaystyle{\,\,\nu \,\,} πραγμάτων ανά \displaystyle{\,\,\kappa \,\,} με \displaystyle{1 \le \,\,\kappa \,\, \le \,\,\nu } , (συμβολικά \displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   \nu   \\ 
   \kappa   \\ 
\end{array}} \right)} ) ονομάζουμε κάθε υποσύνολο του \displaystyle{\,\,{\rm A}\,\,} ,το οποίο περιέχει \displaystyle{\,\,\kappa \,\,} στοιχεία .

β) Θα δείξουμε ότι \displaystyle{\,\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 
   \nu   \\ 
   \kappa   \\ 
\end{array}} \right) = \frac{{\nu !}}{{\kappa !(\nu  - \kappa )!}}\,\,\,}
‘Εστω \displaystyle{\,\,\,x\,\,} το πλήθος των συνδυασμών των \displaystyle{\,\,\nu \,\,} ανά \displaystyle{\,\,\kappa \,\,} . Αν σε κάθε ένα απ΄αυτούς εκτελέσουμε όλες τις μεταθέσεις των\displaystyle{\,\,\,\kappa \,\,} στοιχείων , που είναι \displaystyle{\,\,\kappa !\,\,\,}, θα πάρουμε \displaystyle{\,\,x \cdot \kappa !\,\,\,\,} διατάξεις των \displaystyle{\,\,\nu \,\,} ανά \displaystyle{\,\,\kappa \,\,} .
Αυτές όμως είναι όλες οι διατάξεις των \displaystyle{\,\,\nu \,\,} ανά \displaystyle{\,\,\kappa \,\,} (συμβολικά : \displaystyle{\,\,\,\Delta _\kappa ^\nu \,\,} )
Είναι διαφορετικές γιατί είτε προέρχονται από διαφορετικούς συνδυασμούς είτε , αν προέρχονται από τον ίδιο συνδυασμό , θα διαφέρουν ως προς την τάξη των στοιχείων τους .
Επομένως :\displaystyle{\,\,\,x \cdot \kappa ! = \Delta _\kappa ^\nu  \Leftrightarrow x \cdot \kappa ! = \frac{{\nu !}}{{(\nu  - \kappa )!}} \Leftrightarrow x = \frac{{\nu !}}{{\kappa !(\nu  - \kappa )!}}}


Kαλαθάκης Γιώργης
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1325
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Παρ Ιουν 14, 2013 10:57 am

parmenides51 έγραψε: 1. Αν \Pi (x)={{x}^{2}}+2\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|x+\left( 1+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}} \right)\left( 1+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right), όπου {{z}_{1}},{{z}_{2}} είναι δοσμένοι μιγαδικοί αριθμοί,
να δείξετε ότι \Pi (x)\ge 0 για κάθε πραγματικό αριθμό \displaystyle{x}. Πότε μπορεί να ισχύει η ισότητα;
Είναι \displaystyle{\Delta =4{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}-4\left( 1+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}} \right)\left( 1+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)\Rightarrow \frac{\Delta }{4}={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}-\left( 1+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}} \right)\left( 1+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)=}

\displaystyle{=\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( {{{\bar{z}}}_{1}}-{{{\bar{z}}}_{2}} \right)-\left( 1+{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{1}} \right)\left( 1+{{z}_{2}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right)={{z}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}-{{z}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}-{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{1}}+{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}-1-{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}-{{z}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}-{{z}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}=}

\displaystyle{=-\left( 1+{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right)-{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{1}}\left( 1+{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right)=-\left( 1+{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right)\left( 1+{{z}_{2}}{{{\bar{z}}}_{1}} \right)=-\left( 1+{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right)\left( 1+\overline{{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}}} \right)=-{{\left| 1+{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right|}^{2}}\le 0}

Άρα \displaystyle{\Pi (x)\ge 0}, αφού \displaystyle{\alpha =1>0} (\displaystyle{\alpha =} συντελεστής του \displaystyle{{{x}^{2}}}), με την ισότητα μόνο όταν \displaystyle{\Delta =0} και για \displaystyle{x=-\frac{2\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}{2\cdot 1}=-\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}.

Όμως \displaystyle{\Delta =0\Leftrightarrow -{{\left| 1+{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right|}^{2}}=0\Leftrightarrow 1+{{z}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}=0\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}=-1}.
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Παρ Ιουν 14, 2013 11:28 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1325
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Παρ Ιουν 14, 2013 11:26 am

parmenides51 έγραψε: 3. α) Πότε μια συνάρτηση \displaystyle{\phi(x)} λέγεται συνεχής σε ένα σημείο {{x}_{0}} του πεδίου ορισμού της;
Πότε μια συνάρτηση \displaystyle{\phi(x)} λέγεται συνεχής σε ένα διάστημα;
β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \displaystyle{\phi(x)} που δίνεται από το τύπο \displaystyle{\phi (x)={{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x},\,\,x\ne 0}
και \displaystyle{\phi(0)=0} είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
α) Θεωρία

β) Στο \displaystyle{{{\mathbb{R}}^{*}}} η συνάρτηση είναι συνεχής (πράξεις συνεχών συναρτήσεων). Για \displaystyle{x=0\Rightarrow \varphi (0)=0}

και \displaystyle{\left| \eta \mu \frac{1}{x} \right|\le \frac{1}{\left| x \right|}\Leftrightarrow -\frac{1}{\left| x \right|}\le \eta \mu \frac{1}{x}\le \frac{1}{\left| x \right|}\Rightarrow -\frac{{{x}^{2}}}{\left| x \right|}\le {{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x}\le \frac{{{x}^{2}}}{\left| x \right|}\Rightarrow -\frac{{{\left| x \right|}^{2}}}{\left| x \right|}\le {{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x}\le \frac{{{\left| x \right|}^{2}}}{\left| x \right|}\Rightarrow }

\displaystyle{\Rightarrow -\left| x \right|\le {{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x}\le \left| x \right|\,\,\,\left( 1 \right)}. Αλλά \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( -\left| x \right| \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \left| x \right| \right)=0\,\,\,\left( 2 \right)}. Από τις \displaystyle{\left( 1 \right),\left( 2 \right)} και το κριτήριο παρεμβολής έχουμε

\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x} \right)=0=\varphi (0)}, δηλαδή η δοσμένη συνάρτηση είναι συνεχής και στο μηδέν.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1325
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Παρ Ιουν 14, 2013 12:09 pm

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές \displaystyle{\Pi(x)} βαθμού \ge 2.
α) Να δείξετε ότι αν ο πραγματικός αριθμός \displaystyle{\rho} είναι πολλαπλή ρίζα του \displaystyle{\Pi(x)} τότε ο \displaystyle{\rho} είναι ρίζα της παραγώγου του \displaystyle{\Pi(x)}.
β) Με τη βοήθεια της προηγούμενης ιδιότητας να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{\alpha} και \displaystyle{ \beta} ώστε
το πολυώνυμο \Pi (x)={{x}^{4}}+(\alpha -\beta ){{x}^{3}}+2\alpha {{x}^{2}}-5x+4 να έχει πολλαπλή ρίζα τον αριθμό \displaystyle{1}.
α) Έστω \displaystyle{\rho \in \mathbb{R}} ρίζα του \displaystyle{\Pi (x)} με βαθμό πολλαπλότητας \displaystyle{m\ge 2}. Τότε \displaystyle{\Pi (x)={{\left( x-\rho  \right)}^{m}}f\left( x \right)} για κάποιο πολυώνυμο \displaystyle{f(x)},

άρα \displaystyle{{\Pi }'(x)=m{{\left( x-\rho  \right)}^{m-1}}f\left( x \right)+{{\left( x-\rho  \right)}^{m}}{f}'\left( x \right)={{\left( x-\rho  \right)}^{m-1}}\left[ mf\left( x \right)+\left( x-\rho  \right){f}'\left( x \right) \right]. Επειδή \displaystyle{m-1\ge 1\Rightarrow {\Pi }'\left( \rho  \right)=0}.


β) Έστω ότι υπάρχουν \displaystyle{\alpha ,\beta \in \mathbb{R}} ώστε το \displaystyle{\Pi (x)} να έχει ρίζα τον αριθμό 1 με βαθμό πολλαπλότητας \displaystyle{m\ge 2}. Τότε από το α) θα είναι \displaystyle{\Pi (1)=0,\,\,{\Pi }'(1)=0},

δηλαδή (μετά από τις σχετικές πράξεις) \displaystyle{\left( 3\alpha -\beta =0,\,\,\,7\alpha -3\beta =1 \right)\Rightarrow \left( \alpha =-\frac{1}{2},\,\,\beta =-\frac{3}{2} \right)}.

Για τις τιμές αυτές έχουμε \displaystyle{\Pi (x)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-5x+4={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+3x+4 \right)}, άρα πράγματι \displaystyle{\alpha =-\frac{1}{2},\,\,\beta =-\frac{3}{2}}.


Άβαταρ μέλους
greek_sorcerer
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Δευ Αύγ 02, 2010 4:18 pm

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από greek_sorcerer » Παρ Ιουν 14, 2013 12:48 pm

parmenides51 έγραψε: β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \displaystyle{\phi(x)} που δίνεται από το τύπο \displaystyle{\phi (x)={{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x},\,\,x\ne 0}
και \displaystyle{\phi(0)=0} είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Mε ύλη εκτός λυκείου:
Η \displaystyle{\phi (x)} είναι γινόμενο μηδενικής επί φραγμένης άρα το όριο στο μηδέν θα ισούται με μηδέν, άρα έχουμε:
\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x} \right)=0=\varphi (0)},
άρα συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

υγ: Ορέστη, θα αφήσεις να λύσουμε και εμείς καμια άσκηση?? :D
πολυβόλο είσαι :winner_first_h4h:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες