ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

Ας ξεκινήσουμε να κινούμαστε και προς τα πίσω με τα θέματα των Κύκλων.
Συνήθως ήταν ξεχωριστά τα θέματα Άλγεβρας , Γεωμετρίας και Τριγωνομετρίας.
Τα αρχικά σημαίνουν ΠΟΛΥΤΕΧΝ(ΙΚΟΣ) - ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ(ΗΜΑΤΙΚΟΣ) -ΓΕΩ(ΠΟΝΟ)ΔΑΣ(ΟΛΟΓΙΚΟΣ) ΚΥΚΛΟΣ .
Άλλοτε οι παραπάνω κύκλοι είχαν διαφορετικά θέματα, άλλοτε είχαν κοινά θέματα.
Ταξινομημένα συγκεντρώνονται και τα παραπάνω θέματα σαν προτείνονται στο Ευρετήριο Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων.

1. Αν $\Pi (x)={{x}^{2}}+2\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|x+\left( 1+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}} \right)\left( 1+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)$ , όπου ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ είναι δοσμένοι μιγαδικοί αριθμοί,
να δείξετε ότι $\Pi (x)\ge 0$ για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{x}$ . Πότε μπορεί να ισχύει η ισότητα;

2. α) Τι καλείται συνδυασμός των $\displaystyle{\nu}$ πραγμάτων ανά $\displaystyle{\kappa}$ ;
β) Να αποδείξετε τον τύπο που δίνει το πλήθος των συνδυασμών των $\displaystyle{\nu}$ πραγμάτων ανά $\displaystyle{\kappa}$ . Υποτίθεται ότι $1\le \kappa \le \nu$ .

3. α) Πότε μια συνάρτηση $\displaystyle{\phi(x)}$ λέγεται συνεχής σε ένα σημείο ${{x}_{0}}$ του πεδίου ορισμού της;
Πότε μια συνάρτηση $\displaystyle{\phi(x)}$ λέγεται συνεχής σε ένα διάστημα;
β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $\displaystyle{\phi(x)}$ που δίνεται από το τύπο $\displaystyle{\phi (x)={{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x},\,\,x\ne 0}$
και $\displaystyle{\phi(0)=0}$ είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

4. Δίνεται ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές $\displaystyle{\Pi(x)}$ βαθμού $\ge 2$ .
α) Να δείξετε ότι αν ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\rho}$ είναι πολλαπλή ρίζα του $\displaystyle{\Pi(x)}$ τότε ο $\displaystyle{\rho}$ είναι ρίζα της παραγώγου του $\displaystyle{\Pi(x)}$ .
β) Με τη βοήθεια της προηγούμενης ιδιότητας να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{ \beta}$ ώστε
το πολυώνυμο $\Pi (x)={{x}^{4}}+(\alpha -\beta ){{x}^{3}}+2\alpha {{x}^{2}}-5x+4$ να έχει πολλαπλή ρίζα τον αριθμό $\displaystyle{1}$ .

edit
Απλούστευση ονομασίας
μετονομασία

#2

ΘΕΜΑ 2.
α) Τι καλείται συνδυασμός των $\displaystyle{\nu}$ πραγμάτων ανά $\displaystyle{\kappa}$ ;
β) Να αποδείξετε τον τύπο που δίνει το πλήθος των συνδυασμών των $\displaystyle{\nu}$ πραγμάτων ανά $\displaystyle{\kappa}$ . Υποτίθεται ότι $1\le \kappa \le \nu$ .

ΛΥΣΗ

α) Έστω το σύνολο $\displaystyle{\,\,A = \left\{ {{\alpha _1},{\alpha _2},...,{\alpha _\nu }} \right\}\,\,\,\,}$
Συνδυασμό των $\displaystyle{\,\,\nu \,\,}$ πραγμάτων ανά $\displaystyle{\,\,\kappa \,\,}$ με $\displaystyle{1 \le \,\,\kappa \,\, \le \,\,\nu }$ , (συμβολικά $\displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \nu \\ \kappa \\ \end{array}} \right)}$ ) ονομάζουμε κάθε υποσύνολο του $\displaystyle{\,\,{\rm A}\,\,}$ ,το οποίο περιέχει $\displaystyle{\,\,\kappa \,\,}$ στοιχεία .

β) Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{\,\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \nu \\ \kappa \\ \end{array}} \right) = \frac{{\nu !}}{{\kappa !(\nu - \kappa )!}}\,\,\,}$
‘Εστω $\displaystyle{\,\,\,x\,\,}$ το πλήθος των συνδυασμών των $\displaystyle{\,\,\nu \,\,}$ ανά $\displaystyle{\,\,\kappa \,\,}$ . Αν σε κάθε ένα απ΄αυτούς εκτελέσουμε όλες τις μεταθέσεις των $\displaystyle{\,\,\,\kappa \,\,}$ στοιχείων , που είναι $\displaystyle{\,\,\kappa !\,\,\,}$ , θα πάρουμε $\displaystyle{\,\,x \cdot \kappa !\,\,\,\,}$ διατάξεις των $\displaystyle{\,\,\nu \,\,}$ ανά $\displaystyle{\,\,\kappa \,\,}$ .
Αυτές όμως είναι όλες οι διατάξεις των $\displaystyle{\,\,\nu \,\,}$ ανά $\displaystyle{\,\,\kappa \,\,}$ (συμβολικά : $\displaystyle{\,\,\,\Delta _\kappa ^\nu \,\,}$ )
Είναι διαφορετικές γιατί είτε προέρχονται από διαφορετικούς συνδυασμούς είτε , αν προέρχονται από τον ίδιο συνδυασμό , θα διαφέρουν ως προς την τάξη των στοιχείων τους .
Επομένως : $\displaystyle{\,\,\,x \cdot \kappa ! = \Delta _\kappa ^\nu \Leftrightarrow x \cdot \kappa ! = \frac{{\nu !}}{{(\nu - \kappa )!}} \Leftrightarrow x = \frac{{\nu !}}{{\kappa !(\nu - \kappa )!}}}$

orestisgotsis · #3

parmenides51 έγραψε: 1. Αν $\Pi (x)={{x}^{2}}+2\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|x+\left( 1+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}} \right)\left( 1+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)$ , όπου ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ είναι δοσμένοι μιγαδικοί αριθμοί,
να δείξετε ότι $\Pi (x)\ge 0$ για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{x}$ . Πότε μπορεί να ισχύει η ισότητα;

Είναι $\displaystyle{\Delta =4{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}-4\left( 1+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}} \right)\left( 1+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)\Rightarrow \frac{\Delta }{4}={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}-\left( 1+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}} \right)\left( 1+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)=}$

$\displaystyle{=\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( {{{\bar{z}}}_{1}}-{{{\bar{z}}}_{2}} \right)-\left( 1+{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{1}} \right)\left( 1+{{z}_{2}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right)={{z}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}-{{z}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}-{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{1}}+{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}-1-{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}-{{z}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}-{{z}_{1}}{{\bar{z}}_{1}}{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{2}}=}$

$\displaystyle{=-\left( 1+{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right)-{{z}_{2}}{{\bar{z}}_{1}}\left( 1+{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right)=-\left( 1+{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right)\left( 1+{{z}_{2}}{{{\bar{z}}}_{1}} \right)=-\left( 1+{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right)\left( 1+\overline{{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}}} \right)=-{{\left| 1+{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right|}^{2}}\le 0}$

Άρα $\displaystyle{\Pi (x)\ge 0}$ , αφού $\displaystyle{\alpha =1>0}$ ( $\displaystyle{\alpha =}$ συντελεστής του $\displaystyle{{{x}^{2}}}$ ), με την ισότητα μόνο όταν $\displaystyle{\Delta =0}$ και για $\displaystyle{x=-\frac{2\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}{2\cdot 1}=-\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}$ .

Όμως $\displaystyle{\Delta =0\Leftrightarrow -{{\left| 1+{{z}_{1}}{{{\bar{z}}}_{2}} \right|}^{2}}=0\Leftrightarrow 1+{{z}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}=0\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}=-1}$ .

orestisgotsis · #4

parmenides51 έγραψε: 3. α) Πότε μια συνάρτηση $\displaystyle{\phi(x)}$ λέγεται συνεχής σε ένα σημείο ${{x}_{0}}$ του πεδίου ορισμού της;
Πότε μια συνάρτηση $\displaystyle{\phi(x)}$ λέγεται συνεχής σε ένα διάστημα;
β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $\displaystyle{\phi(x)}$ που δίνεται από το τύπο $\displaystyle{\phi (x)={{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x},\,\,x\ne 0}$
και $\displaystyle{\phi(0)=0}$ είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

α) Θεωρία

β) Στο $\displaystyle{{{\mathbb{R}}^{*}}}$ η συνάρτηση είναι συνεχής (πράξεις συνεχών συναρτήσεων). Για $\displaystyle{x=0\Rightarrow \varphi (0)=0}$

και $\displaystyle{\left| \eta \mu \frac{1}{x} \right|\le \frac{1}{\left| x \right|}\Leftrightarrow -\frac{1}{\left| x \right|}\le \eta \mu \frac{1}{x}\le \frac{1}{\left| x \right|}\Rightarrow -\frac{{{x}^{2}}}{\left| x \right|}\le {{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x}\le \frac{{{x}^{2}}}{\left| x \right|}\Rightarrow -\frac{{{\left| x \right|}^{2}}}{\left| x \right|}\le {{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x}\le \frac{{{\left| x \right|}^{2}}}{\left| x \right|}\Rightarrow }$

$\displaystyle{\Rightarrow -\left| x \right|\le {{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x}\le \left| x \right|\,\,\,\left( 1 \right)}$ . Αλλά $\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( -\left| x \right| \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \left| x \right| \right)=0\,\,\,\left( 2 \right)}$ . Από τις $\displaystyle{\left( 1 \right),\left( 2 \right)}$ και το κριτήριο παρεμβολής έχουμε

$\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x} \right)=0=\varphi (0)}$ , δηλαδή η δοσμένη συνάρτηση είναι συνεχής και στο μηδέν.

orestisgotsis · #5

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές $\displaystyle{\Pi(x)}$ βαθμού $\ge 2$ .
α) Να δείξετε ότι αν ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\rho}$ είναι πολλαπλή ρίζα του $\displaystyle{\Pi(x)}$ τότε ο $\displaystyle{\rho}$ είναι ρίζα της παραγώγου του $\displaystyle{\Pi(x)}$ .
β) Με τη βοήθεια της προηγούμενης ιδιότητας να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{ \beta}$ ώστε
το πολυώνυμο $\Pi (x)={{x}^{4}}+(\alpha -\beta ){{x}^{3}}+2\alpha {{x}^{2}}-5x+4$ να έχει πολλαπλή ρίζα τον αριθμό $\displaystyle{1}$ .

α) Έστω $\displaystyle{\rho \in \mathbb{R}}$ ρίζα του $\displaystyle{\Pi (x)}$ με βαθμό πολλαπλότητας $\displaystyle{m\ge 2}$ . Τότε $\displaystyle{\Pi (x)={{\left( x-\rho \right)}^{m}}f\left( x \right)}$ για κάποιο πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)}$ ,

άρα $\displaystyle{{\Pi }'(x)=m{{\left( x-\rho \right)}^{m-1}}f\left( x \right)+{{\left( x-\rho \right)}^{m}}{f}'\left( x \right)={{\left( x-\rho \right)}^{m-1}}\left[ mf\left( x \right)+\left( x-\rho \right){f}'\left( x \right) \right]$ . Επειδή $\displaystyle{m-1\ge 1\Rightarrow {\Pi }'\left( \rho \right)=0}$ .

β) Έστω ότι υπάρχουν $\displaystyle{\alpha ,\beta \in \mathbb{R}}$ ώστε το $\displaystyle{\Pi (x)}$ να έχει ρίζα τον αριθμό

με βαθμό πολλαπλότητας $\displaystyle{m\ge 2}$ . Τότε από το α) θα είναι $\displaystyle{\Pi (1)=0,\,\,{\Pi }'(1)=0}$ ,

δηλαδή (μετά από τις σχετικές πράξεις) $\displaystyle{\left( 3\alpha -\beta =0,\,\,\,7\alpha -3\beta =1 \right)\Rightarrow \left( \alpha =-\frac{1}{2},\,\,\beta =-\frac{3}{2} \right)}$ .

Για τις τιμές αυτές έχουμε $\displaystyle{\Pi (x)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-5x+4={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+3x+4 \right)}$ , άρα πράγματι $\displaystyle{\alpha =-\frac{1}{2},\,\,\beta =-\frac{3}{2}}$ .

greek_sorcerer · #6

parmenides51 έγραψε: β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $\displaystyle{\phi(x)}$ που δίνεται από το τύπο $\displaystyle{\phi (x)={{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x},\,\,x\ne 0}$
και $\displaystyle{\phi(0)=0}$ είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Mε ύλη εκτός λυκείου:
Η $\displaystyle{\phi (x)}$ είναι γινόμενο μηδενικής επί φραγμένης άρα το όριο στο μηδέν θα ισούται με μηδέν, άρα έχουμε:
$\displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}\eta \mu \frac{1}{x} \right)=0=\varphi (0)}$ ,
άρα συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

υγ: Ορέστη, θα αφήσεις να λύσουμε και εμείς καμια άσκηση??

πολυβόλο είσαι

ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝ-ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜ-ΓΕΩΔΑΣΟΠΟΝΟΛ 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση