ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Ιουν 21, 2013 12:59 am

1. Έστω πολυώνυμο \displaystyle{P(x)} με ακέραιους συντελεστάς και \displaystyle{P(0) =P(1) = 1} .
α) να δείξετε ότι \displaystyle{P(x) =x(x- 1)\sigma(x) + 1} , όπου \displaystyle{\sigma(x)} πολυώνυμον με άκεραίους συντελεστάς .
β) Έστω \displaystyle{x_o} ακέραιος διάφορος του μηδενός και του \displaystyle{1} και η αναδρομική σχέση \displaystyle{x_{\nu+1} = P( x_{\nu}) \,\,\,, \nu = 0 ,1 ,2 ,3 , ...}
Να δείξετε ότι o \displaystyle{x_{\nu}} είναι πρώτος ως προς τους \displaystyle{x_{0} , x_1 , ...,x_{\nu-1}} .


2. Έστω \displaystyle{E(x) = x^3 +\alpha x^2 + \beta x + \gamma \,\, , \alpha \ne 0} με ρίζες \displaystyle{r_1,r_2,r_3} και οι σχέσεις \displaystyle{r_1^3+r_2^3+r_3^3 = -3\gamma} και \displaystyle{r_1^2+r_2^2+r_3^2 = \beta}.
α) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις , να αποδείξετε οτι ισχύει και η άλλη κι αντίστροφα .
β) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις και ισχύει \displaystyle{\alpha + \beta+ \gamma ={\color{red}-} 1} , να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{E(x) = 0 } .


3.΄Έστω συνάρτησις \displaystyle{f(x)} με τιμές στο \displaystyle{ \mathbb{R} }. Αν ισχύει \displaystyle{f(x +y) = f(x) + f(y)} για \displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}, τότε
α) Να δείξετε ότι \displaystyle{f(- x) = - f(x) , x  \in \mathbb{R}} .
β) Αν \displaystyle{\rho} ρητός άριθμός , να δείξετε ότι \displaystyle{f(\rho x) = \rho f(x), \rho \in \mathbb{R} , x \in \mathbb{R}}
γ) Αν \displaystyle{\alpha, \kappa } ακέραιοι και ισχύει \displaystyle{f(\alpha) = \kappa \alpha} , να δείξετε ότι για ακέραιο \displaystyle{b} , ο \displaystyle{f(b)} είναι ακέραιος.


edit
προσθήκη αριθμού στο 2β, κάτι υποψιάστηκε ο Δημήτρης :)
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Παρ Ιουν 21, 2013 2:14 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Ιουν 21, 2013 1:01 am

parmenides51 έγραψε:1. Έστω πολυώνυμο \displaystyle{P(x)} με ακέραιους συντελεστάς και \displaystyle{P(0) =P(1) = 1} .
α) να δείξετε ότι \displaystyle{P(x) =x(x- 1)\sigma(x) + 1} , όπου \displaystyle{\sigma(x)} πολυώνυμον με άκεραίους συντελεστάς .
β) Έστω \displaystyle{x_o} ακέραιος διάφορος του μηδενός και του \displaystyle{1} και η αναδρομική σχέση \displaystyle{x_{\nu+1} = P( x_{\nu}) \,\,\,, \nu = 0 ,1 ,2 ,3 , ...}
Να δείξετε ότι o \displaystyle{x_{\nu}} είναι πρώτος ως προς τους \displaystyle{x_{0} , x_1 , ...,x_{\nu-1}} .
εδώ
parmenides51 έγραψε:2. Έστω \displaystyle{E(x) = x^3 +\alpha x^2 + \beta x + \gamma \,\, , \alpha \ne 0} με ρίζες \displaystyle{r_1,r_2,r_3} και οι σχέσεις \displaystyle{r_1^3+r_2^3+r_3^3 = -3\gamma} και \displaystyle{r_1^2+r_2^2+r_3^2 = \beta}.
α) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις , να αποδείξετε οτι ισχύει και η άλλη κι αντίστροφα .
β) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις και ισχύει \displaystyle{\alpha + \beta+ \gamma = 1} , να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{E(x) = 0 } .
α) εδώ κι εδώ


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4234
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Ιουν 21, 2013 2:05 am

parmenides51 έγραψε:2. Έστω \displaystyle{E(x) = x^3 +\alpha x^2 + \beta x + \gamma \,\, , \alpha \ne 0} με ρίζες \displaystyle{r_1,r_2,r_3} και οι σχέσεις \displaystyle{r_1^3+r_2^3+r_3^3 = -3\gamma} και \displaystyle{r_1^2+r_2^2+r_3^2 = \beta}.
α) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις , να αποδείξετε οτι ισχύει και η άλλη κι αντίστροφα .
β) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις και ισχύει \displaystyle{\alpha + \beta+ \gamma = 1} , να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{E(x) = 0 } .
(α) Από vieta έχουμε:

\displaystyle{r_1 +r_2 +r_3 =-a ,  r_1 r_2 +r_2 r_3 +r_3 r_1 =\beta , r_1 r_2 r_3 =-\gamma}

Τώρα: \displaystyle{r_1 ^3 +r_2 ^3 +r_3 ^3 =-3\gamma \Leftrightarrow }

\displaystyle{(r_1 +r_2 +r_3 )^3 -3r_1 r_2 (r_1 +r_2)-3r_2 r_3 (r_2 +r_3 )-3r_1 r_3 (r_1 +r_3 )-6r_1 r_2 r_3=-3\gamma\Leftrightarrow}

\displaystyle{-a^3 -3r_1 r_2 (-a-r_3 )-3r_2 r_3 (-a-r_1 )-3r_1 r_3 (-a-r_2 )-6(-\gamma )=-3\gamma \Leftrightarrow}

\displaystyle{-a^3 +3a(r_1 r_2 +r_2 r_3 +r_3 r_1 )+9(-\gamma)+6\gamma =-3\gamma \Leftrightarrow}

\displaystyle{-a^3 +3a\beta -9\gamma +6\gamma =-3\gamma \Leftrightarrow a^2 =3\beta}, (δεδομένου ότι δίνεται \displaystyle{a\neq 0})

Tώρα: \displaystyle{r_1 ^2 +r_2 ^2 +r_3  ^2 =(r_1 +r_2 +r_3 )^2 -2(r_1 r_2 +r_2 r_3 +r_3 r_1 )=a^2 -2\beta =3\beta -2\beta =\beta}

Και αντιστρόφως, έστω ότι \displaystyle{r_1 ^2 +r_2 ^2 +r_3 ^2 = \beta \Rightarrow (r_1 +r_2 +r_3 )^2 -2(r_1 r_2 +r_2 r_3 +r_3 r_1 )=\beta}

Άρα: \displaystyle{a^2 -2\beta =\beta \Rightarrow a^2 =3\beta} και από προηγουμένως, είδαμε ότι από εδώ έπεται ότι:

\displaystyle{r_1 ^3 +r_2 ^3 +r_3 ^3 =-3\gamma}

Για το (β) ερώτημα, βλέπω ότι θα έβγαινε άμεσα, αν στην εκφώνηση η επί πλέον συνθήκη, δινόταν \displaystyle{a+\beta\gamma =-1},

αντί του \displaystyle{a+\beta +\gamma =1}. Parmenides, ξανακοίταξε την πηγή της εκφώνησης, μήπως χρειάζεται κάποια διόρθωση

για να μην ασχοληθώ άδικα τέτοια ώρα ( :P )


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4234
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Ιουν 21, 2013 2:44 am

parmenides51 έγραψε:2. Έστω \displaystyle{E(x) = x^3 +\alpha x^2 + \beta x + \gamma \,\, , \alpha \ne 0} με ρίζες \displaystyle{r_1,r_2,r_3} και οι σχέσεις \displaystyle{r_1^3+r_2^3+r_3^3 = -3\gamma} και \displaystyle{r_1^2+r_2^2+r_3^2 = \beta}.
α) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις , να αποδείξετε οτι ισχύει και η άλλη κι αντίστροφα .
β) Εαν ισχύει μια από τις παραπάνω σχέσεις και ισχύει \displaystyle{\alpha + \beta+ \gamma ={\color{red}-} 1} , να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{E(x) = 0 } .
edit
προσθήκη αριθμού στο 2β, κάτι υποψιάστηκε ο Δημήτρης :)

Ας δούμε και το (β) ερώτημα, μιας και δόθηκε η διόρθωση του τυπογραφικού.

Πιστεύω ότι χρειαζόταν να δοθεί η διευκρίνιση ότι \displaystyle{a,\beta ,\gamma \in R} , ενώ αναζητούμε τις λύσεις της δοσμένης εξίσωσης στο σύνολο \displaystyle{C} των μιγαδικών αριθμών.

Από το (α) ερώτημα, έχουμε δει ότι ισχύει η σχέση: \displaystyle{a^2 =3\beta}, ενώ επί πλέον δίνεται και η \displaystyle{a+\beta +\gamma =-1}

Άρα: \displaystyle{\beta =\frac{a^2}{3}} και \displaystyle{\gamma = -1 -a -\beta}.

Αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές στην εξίσωση \displaystyle{E(x)=0}, και έχουμε να λύσουμε την εξίσωση:

\displaystyle{3x^3 +3ax^2 +a^2 x -3-3a-a^2 =0\Leftrightarrow 3(x-1)(x^2 +x+1)+3a(x-1)(x+1)+a^2 (x-1)=0\Leftrightarrow}

\displaystyle{(x-1)[3x^2 +3(a+1)x+a^2 +3a+3]=0}.

Άρα \displaystyle{x=1} ή \displaystyle{3x^2 +3(a+1)x+a^2 +3a+3=0}

Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι \displaystyle{\Delta =-3(a+3)^2}

Άρα οι ρίζες αυτο'υ είναι: \displaystyle{r_1 = \frac{-3a-3+i(a+3)\sqrt{3}}{6} } και \displaystyle{r_2 =\frac{-3a-3-i(a+3)\sqrt{3}}{6}}

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν η άσκηση ήθελε να βρεθούν οι λύσεις στο σύνολο \displaystyle{R} των πραγματικών αριθμών, τότε θα έπρεπε να απαιτούσαμε \displaystyle{a=-3}, και οι ρίζες της εξίσωσης θα ήσαν \displaystyle{r_1 =r_2 =r_3 =1}


Άβαταρ μέλους
Σ. Διονύσης
Δημοσιεύσεις: 190
Εγγραφή: Τρί Φεβ 19, 2013 5:17 pm
Τοποθεσία: Milky Way,Orion Arm, Solar System, 3rd Planet(Earth)

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σ. Διονύσης » Παρ Ιουν 21, 2013 2:59 am

parmenides51 έγραψε: 3.΄Έστω συνάρτησις \displaystyle{f(x)} με τιμές στο \displaystyle{ \mathbb{R} }. Αν ισχύει \displaystyle{f(x +y) = f(x) + f(y)} για \displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}, τότε
α) Να δείξετε ότι \displaystyle{f(- x) = - f(x) , x  \in \mathbb{R}} .
β) Αν \displaystyle{\rho} ρητός άριθμός , να δείξετε ότι \displaystyle{f(\rho x) = \rho f(x), \rho \in \mathbb{R} , x \in \mathbb{R}}
γ) Αν \displaystyle{\alpha, \kappa } ακέραιοι και ισχύει \displaystyle{f(\alpha) = \kappa \alpha} , να δείξετε ότι για ακέραιο \displaystyle{b} , ο \displaystyle{f(b)} είναι ακέραιος.
α)
Για y\rightarrow 0 παίρνουμε f(0)=0

Για x\rightarrow -x πράγματι: f(-x)=-f(x)
β)
Για y\rightarrow (\rho -1)x : f(\rho x)=f(x)+f[(\rho -1)x]

Για y\rightarrow (\rho -2)x : f[(\rho -1) x]=f(x)+f[(\rho -2)x]

......
......
......

Για y\rightarrow (\rho -(\rho -2))x : f(3 x)=f(x)+f(2x)=f(x) +2f(x)=3f(x)

προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:

\displaystyle{f(\rho x)+f[(\rho -1)x]+...+f[(\rho -(\rho -2)+1)x]=\mathop\underbrace{f(x)+f(x)+...+f(x)}_{(\rho -3) \; \; o\rho o\iota}+f[(\rho -1)x]+...+f[(\rho -(\rho -2)+1)x] +3f(x)

\displaystyle{\Leftrightarrow f(\rho x)=\rho f(x) \; , \; \rho \in \mathbb{R} , x \in \mathbb{R}}

Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;

Αν \displaystle{f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}} με f(x)=kx \; , \; k\in\mathbb{Z} τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;
τελευταία επεξεργασία από Σ. Διονύσης σε Παρ Ιουν 21, 2013 10:43 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


My System:
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Παρ Ιουν 21, 2013 10:02 am

Σ. Διονύσης έγραψε: α,β)Αν εκμεταλευτούμε την συναρτησιακή τότε εύκολα (συναρτησιακή Cauchy) είναι η f(x)=cx \; , \; c,x\in\mathbb{R}
Η συναρτησιακή εξίσωση Cauchy έχει λύση μόνο τις f(x)=cx\; , \; c,x\in\mathbb{R} όταν η f είναι συνεχής (που εδώ δεν αναφέρεται).

Σχετικά : εδώ και περιοδικό Εκθέτης , άρθρο του Νίκου Μαυρογιάννη , εδώ


Κώστας Ζερβός
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Ιουν 22, 2013 4:00 pm

Σ. Διονύσης έγραψε:Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;

Αν \displaystle{f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}} με f(x)=kx \; , \; k\in\mathbb{Z} τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;
είναι \displaystle{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}


Άβαταρ μέλους
Σ. Διονύσης
Δημοσιεύσεις: 190
Εγγραφή: Τρί Φεβ 19, 2013 5:17 pm
Τοποθεσία: Milky Way,Orion Arm, Solar System, 3rd Planet(Earth)

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σ. Διονύσης » Σάβ Ιουν 22, 2013 5:12 pm

parmenides51 έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;

Αν \displaystle{f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}} με f(x)=kx \; , \; k\in\mathbb{Z} τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;
είναι \displaystle{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}
Ναι, εντάξει.Ας είναι η f ορισμένη στο \mathbb{R}
Το \alpha όμως που δίνεται στην εκφώνηση είναι ακέραιος.Δηλαδή αγνοώ τα x που δεν είναι ακέραιοι και ορίζω την f στο υποσύνολο των ακεραίων και τη μελετάω μόνο εκεί.Είναι προφανές ότι το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης που προκύπτει από γινόμενο 2 ακεραίων είναι ακέραιος.Σωστά;


My System:
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Ιουν 22, 2013 5:21 pm

Δεν βλέπω πως βρήκες τον τύπο της \displaystyle{f} :?


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιουν 22, 2013 5:31 pm

Σ. Διονύσης έγραψε:
parmenides51 έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;

Αν \displaystle{f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}} με f(x)=kx \; , \; k\in\mathbb{Z} τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;
είναι \displaystle{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}
Ναι, εντάξει.Ας είναι η f ορισμένη στο \mathbb{R}
Το \alpha όμως που δίνεται στην εκφώνηση είναι ακέραιος.Δηλαδή αγνοώ τα x που δεν είναι ακέραιοι και ορίζω την f στο υποσύνολο των ακεραίων και τη μελετάω μόνο εκεί.Είναι προφανές ότι το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης που προκύπτει από γινόμενο 2 ακεραίων είναι ακέραιος.Σωστά;

Σωστά. Ποιων ακεραίων όμως;

Η σχέση f(a)=ka ισχύει για κάποια a,k\in \Bbb{Z} όχι για όλα...

Είναι όμως f(x)=f(1)x για κάθε x\in \Bbb{Z} (απόδειξη με επαγωγή + περιττή συμμετρία) οπότε ka=f(a)=f(1)a\stackrel{a\ne 0}{\implies}  f(1)=k\in \Bbb{Z},

οπότε πράγματι ισχύει το ζητούμενο. (Θέλουμε και a\ne 0, πχ δεν ισχύει για την f(x)=x/2.)


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Σ. Διονύσης
Δημοσιεύσεις: 190
Εγγραφή: Τρί Φεβ 19, 2013 5:17 pm
Τοποθεσία: Milky Way,Orion Arm, Solar System, 3rd Planet(Earth)

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σ. Διονύσης » Σάβ Ιουν 22, 2013 5:55 pm

socrates έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:
parmenides51 έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Τώρα για το γ) τι δικαιολόγηση μπορεί να θέλει...δεν είναι προφανές;

Αν \displaystle{f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}} με f(x)=kx \; , \; k\in\mathbb{Z} τότε το γινόμενο ακεραίων δε δίνει ακέραιο;
είναι \displaystle{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}
Ναι, εντάξει.Ας είναι η f ορισμένη στο \mathbb{R}
Το \alpha όμως που δίνεται στην εκφώνηση είναι ακέραιος.Δηλαδή αγνοώ τα x που δεν είναι ακέραιοι και ορίζω την f στο υποσύνολο των ακεραίων και τη μελετάω μόνο εκεί.Είναι προφανές ότι το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης που προκύπτει από γινόμενο 2 ακεραίων είναι ακέραιος.Σωστά;

Σωστά. Ποιων ακεραίων όμως;

Η σχέση f(a)=ka ισχύει για κάποια a,k\in \Bbb{Z} όχι για όλα...

Είναι όμως f(x)=f(1)x για κάθε x\in \Bbb{Z} (απόδειξη με επαγωγή + περιττή συμμετρία) οπότε ka=f(a)=f(1)a\stackrel{a\ne 0}{\implies}  f(1)=k\in \Bbb{Z},

οπότε πράγματι ισχύει το ζητούμενο. (Θέλουμε και a\ne 0, πχ δεν ισχύει για την f(x)=x/2.)
understood :thumbup:
parmenides51 έγραψε:Δεν βλέπω πως βρήκες τον τύπο της \displaystyle{f} :?
:oops:


My System:
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Ιουν 22, 2013 6:13 pm

διαφορετικά (αντιγράφοντας την ιδέα από εφημερίδα της εποχής)
parmenides51 έγραψε: 3.΄Έστω συνάρτησις \displaystyle{f(x)} με τιμές στο \displaystyle{ \mathbb{R} }. Αν ισχύει \displaystyle{f(x +y) = f(x) + f(y)} για \displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}, τότε
α) Να δείξετε ότι \displaystyle{f(- x) = - f(x) , x  \in \mathbb{R}} .
β) Αν \displaystyle{\rho} ρητός άριθμός , να δείξετε ότι \displaystyle{f(\rho x) = \rho f(x), \rho \in \mathbb{R} , x \in \mathbb{R}}
γ) Αν \displaystyle{\alpha, \kappa } ακέραιοι και ισχύει \displaystyle{f(\alpha) = \kappa \alpha} , να δείξετε ότι για ακέραιο \displaystyle{b} , ο \displaystyle{f(b)} είναι ακέραιος.
γ) για \displaystyle{\alpha, \kappa , b\in \mathbb{Z}} και \displaystyle{\alpha \ne 0 } : \displaystyle{f(b)=f\left(\frac{b}{\alpha}\alpha\right)\mathtop \limits{_{=}^{\frac{b}{\alpha}\in Q}\frac{b}{\alpha}f(\alpha)= \frac{b}{\alpha} \kappa \alpha=\kappa b\in \mathbb{Z}}


Υ.Γ. όπως προανέφερε ο Θανάσης έπρεπε να αναφέρει το \displaystyle{\alpha \ne 0 } η εκφώνηση


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2206
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Οκτ 07, 2018 9:52 am

Μια ακόμη λύση για το


\displaystyle{P(0)=0} άρα \displaystyle{P(x)=a_nx^n+...+a_1x+1} οπότε \displaystyle{P(x)-1=x(a_nx^{n-1}+...+a_1)} τότε

\displaystyle{P(1)=1} σημαίνει \displaystyle{(a_n+...+a_1)=0} δηλαδη \displaystyle{x-1/(a_nx^{n-1}+...+a_1)}

Συνεπώς \displaystyle{a_nx^{n-1}+...+a_1=(x-1)Q(x)} και το ζητούμενο έπεται άμεσα.

Οι συντελεστές του πηλίκου \displaystyle{Q} είναι ακέραιοι στην διαίρεση του \displaystyle{P} με το \displaystyle{x-1} εκτελώντας την διαίρεση


Απάντηση

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης