ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #1

ΖΗΤΗΜΑ 1ο. Να λυθεί η ανίσωση :
$\displaystyle \tau\varepsilon\mu^2 x +\sigma\tau\varepsilon\mu^2 x < \frac{16}{3}$

ΖΗΤΗΜΑ 2ο. Να δείξετε ότι :
$\displaystyle\eta\mu \frac{\pi}{30}\eta\mu\frac{7\pi}{30}\eta\mu\frac{13\pi}{30}\eta\mu\frac{19\pi}{30}\eta\mu\frac{25\pi}{30}=\frac{1}{32}$

ΖΗΤΗΜΑ 3ο. Να δειχτεί ότι:
$\displaystyle\tau o \xi\varepsilon\varphi \frac{7}{8}+\tau o \xi\varepsilon\varphi 2=\pi-\tau o \xi\varepsilon\varphi \frac{23}{6}$

ΖΗΤΗΜΑ 4ο. Να δειχτεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ αληθεύει η σχέση :
$\displaystyle(\beta^2-\gamma^2)\sigma\varphi A+(\gamma^2 -\alpha^2)\sigma\varphi B+(\alpha^2 -\beta^2)\sigma\varphi\Gamma=0$

ΖΗΤΗΜΑ 5ο. Να δειχτεί ότι η εξίσωση :
$\displaystyle\varepsilon\varphi x -\varepsilon\varphi\frac{x}{2}+\varepsilon\varphi\frac{x}{2^2}-\varepsilon\varphi\frac{x}{2^3}+ ... +\varepsilon\varphi \frac{x}{2^{\nu-1}}-\varepsilon\varphi\frac{x}{2^\nu}=0$
δεν έχει λύση στο διάστημα $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ . Προφανώς ο $\nu$ είναι περιττός αριθμός $2\lambda +1$ .

hlkampel · #2

NIZ έγραψε:ΖΗΤΗΜΑ 1ο. Να λυθεί η ανίσωση :
$\displaystyle \tau\varepsilon\mu^2 x +\sigma\tau\varepsilon\mu^2 x < \frac{16}{3}$

Με $\eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu x \ne 0$ η ανίσωση ισοδύναμα γίνεται:

$\displaystyle\frac{1}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}x}} + \frac{1}{{\eta {\mu ^2}x}} < \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow \eta {\mu ^2}x + \sigma \upsilon {\nu ^2}x < \frac{{16}}{3}\eta {\mu ^2}x \cdot \sigma \upsilon {\nu ^2}x \Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{4}{3}\eta {\mu ^2}2x > 1 \Leftrightarrow \eta {\mu ^2}2x > \frac{3}{4} \Leftrightarrow \eta \mu 2x < - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\dot \eta \;\eta \mu 2x > \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\displaystyle\eta \mu 2x < - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \eta \mu 2x < \eta \mu \left( {\pi + \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \eta \mu 2x < \eta \mu \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2\kappa \pi + \frac{{4\pi }}{3} < 2x < 2\kappa \pi + \pi - \frac{{4\pi }}{3} \Leftrightarrow$ (Πράσινο τόξο)

$\displaystyle\kappa \pi + \frac{{2\pi }}{3} < x < \kappa \pi - \frac{\pi }{6},\kappa \in {\rm Z}$

$\displaystyle\eta \mu 2x > \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \eta \mu 2x > \eta \mu \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2\lambda \pi + \frac{\pi }{3} < 2x < 2\lambda \pi + \pi - \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow$ (Κόκκινο τόξο)

$\displaystyle\lambda \pi + \frac{\pi }{6} < x < \lambda \pi + \frac{\pi }{3},\lambda \in {\rm Z}$

Έτσι $\displaystyle x \in \left( {\kappa \pi + \frac{{2\pi }}{3},\kappa \pi - \frac{\pi }{6}} \right)\kappa \in {\rm Z}$ ή $\displaystyle x \in \left( {\lambda \pi + \frac{\pi }{6},\lambda \pi + \frac{\pi }{3}} \right),\lambda \in {\rm Z}$

Σημείωση: Το σχήμα αναφέρεται στο τόξο

BAGGP93 · #3

Δείτε πιο κάτω τη σωστή λύση.

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #4

ΖΗΤΗΜΑ 3ο. Να δειχτεί ότι:
$\displaystyle\tau o \xi\varepsilon\varphi \frac{7}{8}+\tau o \xi\varepsilon\varphi 2=\pi-\tau o \xi\varepsilon\varphi \frac{23}{6}$

Οι σχέσεις που ισχύουν είναι:

$\displaystyle{\arctan x +\arctan y =\arctan \left(\frac{x+y}{1-x\,y}\right)\end{aligned}}$ , όταν x>0,y>0,xy<1

και
$\displaystyle{ \arctan x+\arctan y=\pi+\arctan \left(\frac{x+y}{1-x\,y}\right)\end{aligned}}$ όταν x>0,y>0,xy>1

(Από τις σχέσεις αυτές, μόνο η πρώτη υπάρχει στο σχολικό βιβλίο της εποχής)

Οπότε από την δεύτερη σχέση προκύπτει ότι :

$\displaystyle{\arctan \frac{7}{8}+\arctan 2=\pi+\arctan \left(\displaystyle{\frac{\frac{7}{8}+2}{1-\frac{7}{4}}}\right)=pi+\arctan \left(-\frac{23}{6}\right) =\pi-\arctan \left(\frac{23}{6}\right)}$ .

ΥΓ.
Βαγγέλη, το πρόβλημα στην απόδειξη σου, μάλλον βρίσκεται στο ότι
$\displaystyle{a\,,b\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)}$ δεν σημαίνει ότι και
$\displaystyle{(a+b)\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

ΖΗΤΗΜΑ 4ο. Να δειχτεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ αληθεύει η σχέση :
$\displaystyle(\beta^2-\gamma^2)\sigma\varphi A+(\gamma^2 -\alpha^2)\sigma\varphi B+(\alpha^2 -\beta^2)\sigma\varphi\Gamma=0$

Μια σύντομη απόδειξη που βασίζεται στις ισότητες

$\sigma \phi A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4E}$

$\sigma \phi B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{4E}$

$\sigma \phi C=\frac{b^{2}+a^{2}-c^{2}}{4E}$

όπου

το εμβαδόν του τριγώνου .

Οι παραπάνω ισότητες έχουν απλή απόδειξη και ασφαλώς θα ήταν γνωστές σε υποψήφιους που είχαν κάποιες φιλοδοξίες.

Επειδή ισχύει ότι

$\left(b^{2} -c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2} -a^{2}\right)+\left( c^{2}-a^{2}\right)\left(a^{2}+c^{2}-b^{2} \right)+\left( a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2} -c^{2}\right)=...=0$

η ζητούμενη ισότητα αποδείχθηκε.

#6

NIZ έγραψε: ΖΗΤΗΜΑ 2ο. Να δείξετε ότι :
$\displaystyle\eta\mu \frac{\pi}{30}\eta\mu\frac{7\pi}{30}\eta\mu\frac{13\pi}{30}\eta\mu\frac{19\pi}{30}\eta\mu\frac{25\pi}{30}=\frac{1}{32}$

Αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle\eta\mu \frac{\pi}{30}\eta\mu\frac{7\pi}{30}\eta\mu\frac{13\pi}{30}\eta\mu\frac{19\pi}{30}=\frac{1}{16}$
----------------
Με τη βοήθεια της $2\eta\mu {x}\eta\mu{y}=\sigma\upsilon\nu(x-y)-\sigma\upsilon\nu(x+y)$
----------------
$\displaystyle A=\eta\mu \frac{\pi}{30}\eta\mu\frac{7\pi}{30}\eta\mu\frac{13\pi}{30}\eta\mu\frac{19\pi}{30}$

$\displaystyle 2A \quad\eta\mu\frac{14\pi}{30}=\sigma\upsilon\nu\frac{13\pi}{30}\eta\mu\frac{7\pi}{30}\eta\mu\frac{13\pi}{30}\eta\mu\frac{19\pi}{30}\Rightarrow$

$\displaystyle 2^2A \quad \eta\mu\frac{14\pi}{30}=\eta\mu\frac{7\pi}{30}\eta\mu\frac{26\pi}{30}\eta\mu\frac{19\pi}{30}\Rightarrow$

$\displaystyle 2^2A \quad \eta\mu\frac{14\pi}{30}=\eta\mu\frac{7\pi}{30}\eta\mu\frac{4\pi}{30}\eta\mu\frac{11\pi}{30}\Rightarrow$

$\displaystyle 2^3A \quad \eta\mu\frac{14\pi}{30}=\eta\mu\frac{7\pi}{30}\sigma\upsilon\nu\frac{7\pi}{30}\Rightarrow A=\frac{1}{16}$

orestisgotsis · #7

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1976 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση