ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Κ. Παναγιωτουνάκος

1. Δίνονται τρεις πραγματικοί αριθμοί γραμμένοι στην ανάλυση τους σε πρώτους παράγοντες οι
$\displaystyle{A=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}, B=p_1^{b_1}p_2^{b_2}p_3^{b_3},\Gamma=p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}}$ όπου $\displaystyle{$ p_1,p_2,p_3} πρώτοι και

\displaystyle{a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3} φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε

\displaystyle{a_1<b_1<c_1, a_2<b_2<c_2 , a_3<b_3<c_3} .
Να βρεθεί
α) το πλήθος των κοινών διαιρετών των

\displaystyle{A,B,\Gamma} β) το άθροισμα των κοινών διαιρετών τους

2. α) Δίνονται τα ακέραια πολυώνυμα

\displaystyle{f_1(x)} και

\displaystyle{ f_2(x)} και τα πηλίκα

\displaystyle{\pi_1(x)} και

\displaystyle{\pi_2(x)} των διαιρέσεων

\displaystyle{f_1(x):(x-\alpha)} και

\displaystyle{f_2(x):(x-\beta)} αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί οτι το υπόλοιπο της διαίρεσης

\displaystyle{\upsilon (x)} του πολυωνύμου

\displaystyle{f_1(x) f_2(x)} δια του

\displaystyle{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta} είναι

\displaystyle{ \upsilon (x)=\pi_1(\beta)f_2(\beta) (x-\alpha)+\pi_2(\alpha)f_1(\alpha) (x-\beta)+f_1(\alpha)f_2(\beta)} .
β) Εφαρμογή: Εαν είναι

\displaystyle{f_1(x)=(x-\sqrt2)(x^2+3)+5, f_2(x)=(x+\sqrt2)(x^4+5x^2+4)+1}[unparseable or potentially dangerous latex formula]\displaystyle{f_1(x) f_2(x)} δια του

\displaystyle{x^2-2} .

3. Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις του συστήματος

\displaystyle{\begin{cases}
8(4^x2^{2y}+2^{-2x}4^{-y})-54(2^x2^y+2^{-x}2^{-y}) +101=0\\
x^3+y^3=7
\end{cases}} 4. Να βρεθούν μεταξύ ποιών πραγματικών αριθμών βρίσκεται ο

\displaystyle{x } και ποιες είναι οι τιμές του

\displaystyle{y } συναρτήσει του

\displaystyle{x} ,
ώστε οι μιγαδικοί

\displaystyle{z=x+iy} να επαληθεύουν τις σχέσεις

\displaystyle{\begin{cases}
|2z-3|>|3z+2| \\
|z-1|=3
\end{cases}}$

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε: 3. Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις του συστήματος
$\displaystyle{\begin{cases} 8(4^x2^{2y}+2^{-2x}4^{-y})-54(2^x2^y+2^{-x}2^{-y}) +101=0\\ x^3+y^3=7 \end{cases}}$

Η πρώτη εξίσωση του συστήματος γράφεται:

$\displaystyle 8\left( {{2^{2\left( {x + y} \right)}} + \frac{1}{{{2^{2\left( {x + y} \right)}}}}} \right) - 54\left( {{2^{x + y}} + \frac{1}{{{2^{x + y}}}}} \right) + 101 = 0\;\left( 1 \right)$

Θέτοντας ${2^{x + y}} = w > 0$ η $\left( 1 \right)$ γίνεται:

$\displaystyle 8\left( {{w^2} + \frac{1}{{{w^2}}}} \right) - 54\left( {w + \frac{1}{w}} \right) + 101 = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle8{\left( {w + \frac{1}{w}} \right)^2} - 16 - 54\left( {w + \frac{1}{w}} \right) + 101 = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle{8{\left( {w + \frac{1}{w}} \right)^2} - 54\left( {w + \frac{1}{w}} \right) + 85 = 0 \Leftrightarrow w + \frac{1}{w} = \frac{{17}}{4}\;\dot \eta \;w + \frac{1}{w} = \frac{5}{2}}$

Αν $\displaystyle{w + \frac{1}{w} = \frac{{17}}{4} \Leftrightarrow 4{w^2} - 17w + 4 = 0 \Leftrightarrow w = 4\;\dot \eta \;w = \frac{1}{4}}$

Με w = 4

είναι:

$\displaystyle\left\{ \begin{array}{l} {2^{x + y}} = 4\\ {x^3} + {y^3} = 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 2\\ {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 2\\ \displaystyle xy = \frac{1}{6} \end{array} \right.$

Οι x,y

των δύο αυτών εξισώσεων είναι λύσεις της:

$\displaystyle {k^2} - 2k + \frac{1}{6} = 0 \Leftrightarrow k = 1 + \frac{{\sqrt {30} }}{6}\;\dot \eta \;k = 1 - \frac{{\sqrt {30} }}{6}\;$

Άρα $\displaystyle\left( {x,y} \right) = \left( {1 + \frac{{\sqrt {30} }}{6},1 - \frac{{\sqrt {30} }}{6}} \right)\;\dot \eta \;\left( {x,y} \right) = \left( {1 - \frac{{\sqrt {30} }}{6},1 + \frac{{\sqrt {30} }}{6}} \right)$

Με $\displaystyle w = \frac{1}{4}$ είναι:

$\displaystyle\left\{ \begin{array}{l} {2^{x + y}} = \frac{1}{4}\\ {x^3} + {y^3} = 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = - 2\\ {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = - 2\\ \displaystyle xy = \frac{5}{2} \end{array} \right.$

Οι x,y

των δύο αυτών εξισώσεων είναι λύσεις της:

$\displaystyle {m^2} + 2m + \frac{5}{2} = 0$ που είναι αδύνατη στο

Αν $\displaystyle{w + \frac{1}{w} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow 2{w^2} - 5w + 2 = 0 \Leftrightarrow w = 2\;\dot \eta \;w = \frac{1}{2}}$

Με w = 2

είναι:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {2^{x + y}} = 2\\ {x^3} + {y^3} = 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 1\\ {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 1\\ xy = - 2 \end{array} \right.$

Οι x,y

των δύο αυτών εξισώσεων είναι λύσεις της:

${n^2} - n - 2 = 0 \Leftrightarrow n = - 1\dot \eta \;n = 2$

Άρα $\left( {x,y} \right) = \left( { - 1,2} \right)\;\dot \eta \;\left( {x,y} \right) = \left( {2, - 1} \right)$

Με $\displaystyle w = \frac{1}{2}$ είναι:

$\displaystyle\left\{ \begin{array}{l} {2^{x + y}} = \frac{1}{2}\\ {x^3} + {y^3} = 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = - 1\\ {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = - 1\\ \displaystyle xy = \frac{8}{3} \end{array} \right.$

Οι x,y

των δύο αυτών εξισώσεων είναι λύσεις της:

$\displaystyle {t^2} + t + \frac{8}{3} = 0$ που είναι αδύνατη στο

Τελικά οι λύσεις του συστήματος είναι τα ζεύγη:

$\left( {x,y} \right) = \left( { - 1,2} \right)\;,\left( {2, - 1} \right)$ $\displaystyle,\left( {1 + \frac{{\sqrt {30} }}{6},1 - \frac{{\sqrt {30} }}{6}} \right)\;,\;\left( {1 - \frac{{\sqrt {30} }}{6},1 + \frac{{\sqrt {30} }}{6}} \right)$ που επαληθεύουν τις εξισώσεις του.

(Ελπίζω να βρεθεί συντομότερη λύση)

Γιώργος Απόκης · #3

parmenides51 έγραψε: 4. Να βρεθούν μεταξύ ποιών πραγματικών αριθμών βρίσκεται ο $\displaystyle{x }$ και ποιες είναι οι τιμές του $\displaystyle{y }$ συναρτήσει του $\displaystyle{x}$ ,
ώστε οι μιγαδικοί $\displaystyle{z=x+iy}$ να επαληθεύουν τις σχέσεις $\displaystyle{\begin{cases} |2z-3|>|3z+2| \\ |z-1|=3 \end{cases}}$

Aντικαθιστώντας $\displaystyle{z=x+yi}$ στην ανίσωση έχουμε

$\displaystyle{|(2x-3)+2yi|>|(3x+2)+3yi|\Leftrightarrow (2x-3)^2+4y^2>(3x+2)^2+9y^2\Leftrightarrow -5x^2-5y^2-24x+5>0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{x^2+y^2+\frac{24}{5}x-1<0\Leftrightarrow x^2+y^2+2\cdot\frac{12}{5}x+\frac{144}{25}-\frac{144}{25}-1<0\Leftrightarrow \left(x+\frac{12}{5}\right)^2+y^2<\left(\frac{13}{5}\right)^2}$

δηλαδή οι εικόνες του $\displaystyle{z}$ είναι τα εσωτερικά σημεία του κύκλου $\displaystyle{C_1}$ με κέντρο $\displaystyle{ \left(-\frac{12}{5},0\right)}$ και ακτίνα $\displaystyle{\frac{13}{5}}$ .

Η εξίσωση παριστάνει τον κύκλο $\displaystyle{C_2:(x-1)^2+y^2=9}$ με κέντρο $\displaystyle{(1,0)}$ και ακτίνα $\displaystyle{3}$ .

Επομένως, οι εικόνες του $\displaystyle{z}$ είναι τα σημεία του κυρτογώνιου τόξου $\displaystyle{\overset{\frown}{AB}}$ (χωρίς τα άκρα του).

Για τα $\displaystyle{A,B}$ λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των κύκλων και έχουμε $\displaystyle{x=-\frac{35}{34}}$ .

Eπομένως, έχουμε $\displaystyle{-2\leq x<-\frac{35}{34}}$ και για κάθε $\displaystyle{x}$ στο διάστημα αυτό, δύο τιμές του $\displaystyle{y}$ , τις $\displaystyle{y=\pm\sqrt{9-(x-1)^2}}$

Christos.N · #4

4. Να βρεθούν μεταξύ ποιών πραγματικών αριθμών βρίσκεται ο $\displaystyle{x }$ και ποιες είναι οι τιμές του $\displaystyle{y }$ συναρτήσει του $\displaystyle{x}$ ,
ώστε οι μιγαδικοί $\displaystyle{z=x+iy}$ να επαληθεύουν τις σχέσεις $\displaystyle{\begin{cases} |2z-3|>|3z+2| \\ |z-1|=3 \end{cases}}$

Έστω $\displaystyle{z = x + yi,x,y \in R}$ .

Από την πρώτη εξίσωση λαμβάνουμε,

$\displaystyle{ \begin{array}{l} |2z - 3| > |3z + 2| \Leftrightarrow |(2x - 3) + 2yi| < |(3x + 2) + 3yi| \Rightarrow \sqrt {(2x - 3)^2 + 4y^2 } < \sqrt {(3x + 2)^2 + 9y^2 } \Rightarrow \\ 4x^2 - 12x + 9 + 4y^2 < 9x^2 + 12x + 4 + 9y^2 \Rightarrow \left( {x + \frac{{12}}{5}} \right)^2 + y^2 < \left( {\frac{{13}}{5}} \right)^2 \\ \end{array} }$

Άρα οι εικόνες του μιγαδικού βρίσκονται εντός του δίσκου C_1

με κέντρο $\displaystyle{K_1 \left( { - \frac{{12}}{5},0} \right)}$ και ακτίνα $\displaystyle{r_1 = \frac{{13}}{5}}$

Από την δεύτερη εξίσωση λαμβάνουμε,

$\displaystyle{ |z - 1| = 3 \Rightarrow (x - 1)^2 + y^2 = 9 }$

Άρα οι εικόνες του μιγαδικού βρίσκονται στον κύκλο C_2

με κέντρο $\displaystyle{K_2 \left({ 1,0} \right)}$ και ακτίνα $\displaystyle{r_2 = 3}$

Επειδή $\displaystyle{r_2 - r_1 < (K_1 K_2 ) < r_2 + r_1 }$ ο κοινός τόπος των δύο γεωμετρικών τόπων θα βρίσκεται επί του C_2

εντός του

.

: Καταγραφή.PNG (17.75 KiB) Προβλήθηκε 1390 φορές

Θα βρούμε την τετμημένη των κοινών σημείων τομής των δύο κύκλων:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \left( {x + \frac{{12}}{5}} \right)^2 + y^2 = \left( {\frac{{13}}{5}} \right)^2 \\ (x - 1)^2 + y^2 = 9 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x - 1)^2 - \left( {x + \frac{{12}}{5}} \right)^2 = 9 - \left( {\frac{{13}}{5}} \right)^2 \\ (x - 1)^2 + y^2 = 9 \\ \end{array} \right. \Rightarrow x = - \frac{{35}}{34} }$

Άρα ο $\displaystyle{x }$ βρίσκεται μεταξύ των τιμών $\displaystyle{\left[ { - 2, - \frac{{35}}{{34}}} \right)}$

Και οι τιμές του $\displaystyle{y }$ συναρτήσει του $\displaystyle{x}$ είναι : $\displaystyle{|y| = \sqrt {9 - (x - 1)^2 } ,x \in \left[ { - 2, - \frac{{35}}{{34}}} \right)}$

Υ.Γ. Τώρα είδα την λύση του Γιώργου, βρε Γιώργο λυπάμαι τον κόπο μου και την αφήνω.

konstantogeo · #5

parmenides51 έγραψε:2. α) Δίνονται τα ακέραια πολυώνυμα $\displaystyle{f_1(x)}$ και $\displaystyle{ f_2(x)}$ και τα πηλίκα
$\displaystyle{\pi_1(x)}$ και $\displaystyle{\pi_2(x)}$ των διαιρέσεων $\displaystyle{f_1(x):(x-\alpha)}$ και $\displaystyle{f_2(x):(x-\beta)}$ αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί οτι το υπόλοιπο της διαίρεσης $\displaystyle{\upsilon (x)}$ του πολυωνύμου $\displaystyle{f_1(x) f_2(x)}$ δια του $\displaystyle{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta}$
είναι $\displaystyle{ \upsilon (x)=\pi_1(\beta)f_2(\beta) (x-\alpha)+\pi_2(\alpha)f_1(\alpha) (x-\beta)+f_1(\alpha)f_2(\beta)}$ .
β) Εφαρμογή: Εαν είναι $\displaystyle{f_1(x)=(x-\sqrt2)(x^2+3)+5, f_2(x)=(x+\sqrt2)(x^4+5x^2+4)+1}$ ,
να βρεθεί κάνοντας χρήση των παραπάνω και μετά την εκτέλεση των σχετική πράξεων,
το υπόλοιπο της διαίρεσης $\displaystyle{f_1(x) f_2(x)}$ δια του $\displaystyle{x^2-2}$ .

Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε:
$f_{1}(x)=\left(x-\alpha \right)\pi _{1}(x)+f_{1}(\alpha )(1)$ και $f_{2}(x)=\left(x-\beta \right)\pi _{2}(x)+f_{2}(\beta )(2)$
η (2) για $x=\alpha$ γίνεται: $f_{2}(\alpha )=\left(\alpha -\beta \right)\pi _{2}(\alpha )+f_{2}(\beta )$
η (1) για $x= \beta$ γίνεται: $f_{1}(\beta )=\left(\beta -\alpha \right)\pi _{1}(\beta )+f_{1}(\alpha )$
Έστω ότι το πηλίκο της διαίρεσης του πολυωνύμου $\displaystyle{f_1(x) f_2(x)}$ δια του $\displaystyle{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta}$ είναι q(x)

.Επειδή ο διαιρέτης είναι δευτέρου βαθμού το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι πρώτου βαθμού,έστω ότι $\upsilon(x)=kx+l$ .
Άρα $f_{1}(x)f_{2}(x)=\left[x^2-\left(\alpha +\beta \right)x+\alpha \beta \right]q(x)+kx+l$ (3)
η (3) για $x=\alpha$ δίνει $f_{1}(\alpha )f_{2}(\alpha )=k\alpha +l$ (4)
η (3) για $x= \beta$ δίνει: $f_{1}(\beta )f_{2}(\beta )=k\beta +l$ (5)
Με αφαίρεση κατά μέλη των (4),(5):
$k \left(\alpha -\beta \right)=f_{1}(\alpha )f_{2}(\alpha )-f_{1}(\beta )f_{2}(\beta )$ \displaystyle{\Leftrightarrow

k \left(\alpha -\beta \right)=f_{1}(\alpha )\left(\alpha -\beta \right)\pi _{2}(\alpha )+f_{1}(\alpha )f_{2}(\beta )-f_{2}(\beta )\left(\beta -\alpha \right)\pi _{1}(\beta )-f_{1}(\alpha )f_{2}(\beta )

\Leftrightarrow k=f_{1}(\alpha )\pi _{2}(\alpha )+f_{2}(\beta )\pi _{1}(\beta ) Αντικαθιστώντας στην (4):

l=f_{1}(\alpha )\left(\alpha -\beta \right)\pi _{2}(\alpha )+f_{1}(\alpha )f_{2}(\beta )-f_{1}(\alpha )\alpha\pi _{2}(\alpha )-\alpha f_{2}(\beta )\pi _{1}(\beta )

l=af_{1}(\alpha )\pi _{2}(\alpha )-\beta f_{1}(\alpha )\pi _{2}(\alpha )+\beta f_{1}(\alpha ) f_{2}(\beta ) -\alpha f_{1}(\alpha )\pi _{2}(\alpha ) -\alpha f_{2}(\beta )\pi _{1}(\beta )

l=-\beta f_{1}(\alpha )\pi _{2}(\alpha )+\beta f_{1}(\alpha )f_{2}(\beta ) -\alpha f_{2}(\beta )\pi _{1}(\beta ) Αντικαθιστώντας τις τιμές των

k,l

\upsilon(x)=kx+l προκύπτει

\upsilon(x)=x f_{1}(\alpha )\pi _{2}(\alpha )+x f_{2}(\beta )\pi _{1}(\beta )+\beta f_{1}(\alpha ) f_{2}(\beta )-\beta f_{1}(\alpha ) \pi _{2}(\alpha )-\alpha f_{2}(\beta )\pi _{1}(\beta ) Παραγοντοποιώντας:

\displaystyle{ \upsilon (x)=\pi_1(\beta)f_2(\beta) (x-\alpha)+\pi_2(\alpha)f_1(\alpha) (x-\beta)+f_1(\alpha)f_2(\beta)} β) Αφού

x^2-2=\left(x-\sqrt{2} \right)\left(x+\sqrt{2} \right) έχουμε

\alpha =\sqrt{2},\beta =-\sqrt{2} και

\pi _{1}(x)=x^2+3,f_{1}(\sqrt{2})=5 και

\pi _{2}(x)=x^4+5x^2+1,f_{2}(-\sqrt{2})=1 Επίσης

\pi _{1}(-\sqrt{2})=5,\pi _{2}(\sqrt{2})=18 Οπότε

\upsilon (x)=\pi _{1}(-\sqrt{2})f_{2}(-\sqrt{2} )\left(x-\sqrt{2} \right)+\pi _{2}(\sqrt{2} )f_{1}(\sqrt{2} )\left(x+\sqrt{2} \right)+f_{1}(\sqrt{2} )f_{2}(-\sqrt{2} )

=5\cdot 1\cdot\left(x-\sqrt{2})+18\cdot 5 \cdot\left(x+\sqrt{2} \right)+5\cdot 1} $=95x+85\sqrt{2}+5$

ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση