Τοπικά ελάχιστα με lagrange

[crimjoy]

Θέλω να βρώ με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης

με περιορισμό
και έχω κάνει



Αλλά εδώ κόλλησα και δεν μπορώ να βρω το

[grigkost]

Θέλω να βρω με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης

με περιορισμό ...

Η μέθοδος Lagrange "δουλεύει" μόνο πάνω στο σύνορο του δίσκου . Επομένως αυτό που ζητάς είναι:

1) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης με την μέθοδο Lagrange με περιορισμό ; ή

2) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης στον δίσκο ;
(Στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Lagrange μαζί με άλλη μέθοδο εύρεσης ακροτάτων.)

[crimjoy]

Θέλω να βρω με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης

με περιορισμό ...

Η μέθοδος Lagrange "δουλεύει" μόνο πάνω στο σύνορο του δίσκου . Επομένως αυτό που ζητάς είναι:

1) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης με την μέθοδο Lagrange με περιορισμό ; ή

2) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης στον δίσκο ;
(Στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Lagrange μαζί με άλλη μέθοδο εύρεσης ακροτάτων.)

Ευχαριστώ για την απάντηση.Το πρόβλημα διατυπώνονταν όπως το έγραψα , ποια άλλη μέθοδο μπορώ να χρησιμοποιήσω ?
Αρχικά προσπάθησα να βρω ελάχιστο χωρίς περιορισμούς αλλά κόλλησα σε αυτό



μετά αυτό που έγραψα στην αρχή το προχώρησα ως εξής





Άρα έχει ελάχιστα σε αυτά τα 2 σημεία ?

[grigkost]

Θέλω να βρω με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης

με περιορισμό ...

Η μέθοδος Lagrange "δουλεύει" μόνο πάνω στο σύνορο του δίσκου . Επομένως αυτό που ζητάς είναι:

1) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης με την μέθοδο Lagrange με περιορισμό ; ή

2) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης στον δίσκο ;
(Στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Lagrange μαζί με άλλη μέθοδο εύρεσης ακροτάτων.)

Ευχαριστώ για την απάντηση.Το πρόβλημα διατυπώνονταν όπως το έγραψα , ποια άλλη μέθοδο μπορώ να χρησιμοποιήσω ?
Αρχικά προσπάθησα να βρω ελάχιστο χωρίς περιορισμούς αλλά κόλλησα σε αυτό



μετά αυτό που έγραψα στην αρχή το προχώρησα ως εξής





Άρα έχει ελάχιστα σε αυτά τα 2 σημεία ?

Εδώ έχει συμβεί να φτάσεις σχεδόν στο σωστό αποτέλεσμα, αλλά με αρκετή τύχη. Να το εξηγήσω:

1) Όπως ανέφερα και παραπάνω, η μέθοδος Lagrange "λειτουργεί" μόνο για το σύνορο του δίσκου. Για την εύρεση ακροτάτων στον ανοικτό δίσκο βρίσκουμε τις ρίζες του και με την βοήθεια του Εσσιανού διαπιστώνουμε αν σε κάποια από αυτές τις ρίζες η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο καθώς και το είδος του.
2) Αφού βρούμε τα ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου πρέπει με την μέθοδο Lagrange να εντοπίσουμε πιθανά ακρότατα στο σύνορο .
3) Κατόπιν πρέπει να συνδυάσουμε τα αποτελέσματα που βρήκαμε με τις δύο μεθόδους για να βρούμε τα ακρότατα στον κλειστό δίσκο .

Γενικά η εύρεση ακροτάτων συναρτήσεων διανυσματικής μεταβλητής σε κλειστό σύνολο -δηλαδή σε σύνολο με σύνορο- δεν είναι εύκολη διαδικασία. Αν η συνάρτηση είναι σχετικά απλή, τότε ο συνδυασμός των δύο μεθόδων "λειτουργεί" χωρίς πρόβλημα. Στην συγκεκριμένη περίπτωση το γράφημα της συνάρτησης είναι το
[attachment=1]Lagrange_mult.png[/attachment][attachment=0]Lagrange_mult_II.png[/attachment] και όπως μπορείς να διαπιστώσεις "ιδίοις όμμασι" χρειάζεται αρκετή διερεύνηση για να βρεθούν τα ακρότατα. Πάντως τα τοπικά ελάχιστα είναι για τα (πρέπει να βρεθούν και τα αντίστοιχα ), . (πρέπει να βρεθούν και τα αντίστοιχα )

[dement]

Πάντως η χρήση πολικών συντεταγμένων θα σε εξυπηρετούσε ιδιαίτερα. Φαίνονται με ελάχιστη διερεύνηση τα ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου και σου μένει μόνο το σύνορο όπου έχεις μόνο μια μεταβλητή.

[Al.Koutsouridis]

Νομίζω μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Karush–Kuhn–Tucker π.χ εδώ. Θα πρέπει δηλαδή να ελεγχθεί και το πρόσημο του .

[crimjoy]

Νομίζω μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Karush–Kuhn–Tucker π.χ εδώ. Θα πρέπει δηλαδή να ελεγχθεί και το πρόσημο του .

το λ απόσο ξέρω πρέπει να είναι θετικό

Πάντως η χρήση πολικών συντεταγμένων θα σε εξυπηρετούσε ιδιαίτερα. Φαίνονται με ελάχιστη διερεύνηση τα ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου και σου μένει μόνο το σύνορο όπου έχεις μόνο μια μεταβλητή.

Δυστυχώς δεν είμαι καθόλου εξοικειωμένος με πολικές

Θέλω να βρω με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης

με περιορισμό ...

Η μέθοδος Lagrange "δουλεύει" μόνο πάνω στο σύνορο του δίσκου . Επομένως αυτό που ζητάς είναι:

1) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης με την μέθοδο Lagrange με περιορισμό ; ή

2) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης στον δίσκο ;
(Στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Lagrange μαζί με άλλη μέθοδο εύρεσης ακροτάτων.)

Ευχαριστώ για την απάντηση.Το πρόβλημα διατυπώνονταν όπως το έγραψα , ποια άλλη μέθοδο μπορώ να χρησιμοποιήσω ?
Αρχικά προσπάθησα να βρω ελάχιστο χωρίς περιορισμούς αλλά κόλλησα σε αυτό



μετά αυτό που έγραψα στην αρχή το προχώρησα ως εξής





Άρα έχει ελάχιστα σε αυτά τα 2 σημεία ?

Εδώ έχει συμβεί να φτάσεις σχεδόν στο σωστό αποτέλεσμα, αλλά με αρκετή τύχη. Να το εξηγήσω:

1) Όπως ανέφερα και παραπάνω, η μέθοδος Lagrange "λειτουργεί" μόνο για το σύνορο του δίσκου. Για την εύρεση ακροτάτων στον ανοικτό δίσκο βρίσκουμε τις ρίζες του και με την βοήθεια του Εσσιανού διαπιστώνουμε αν σε κάποια από αυτές τις ρίζες η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο καθώς και το είδος του.
2) Αφού βρούμε τα ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου πρέπει με την μέθοδο Lagrange να εντοπίσουμε πιθανά ακρότατα στο σύνορο .
3) Κατόπιν πρέπει να συνδυάσουμε τα αποτελέσματα που βρήκαμε με τις δύο μεθόδους για να βρούμε τα ακρότατα στον κλειστό δίσκο .

Γενικά η εύρεση ακροτάτων συναρτήσεων διανυσματικής μεταβλητής σε κλειστό σύνολο -δηλαδή σε σύνολο με σύνορο- δεν είναι εύκολη διαδικασία. Αν η συνάρτηση είναι σχετικά απλή, τότε ο συνδυασμός των δύο μεθόδων "λειτουργεί" χωρίς πρόβλημα. Στην συγκεκριμένη περίπτωση το γράφημα της συνάρτησης είναι το
[attachment=1]Lagrange_mult.png[/attachment][attachment=0]Lagrange_mult_II.png[/attachment] και όπως μπορείς να διαπιστώσεις "ιδίοις όμμασι" χρειάζεται αρκετή διερεύνηση για να βρεθούν τα ακρότατα. Πάντως τα τοπικά ελάχιστα είναι για τα (πρέπει να βρεθούν και τα αντίστοιχα ), . (πρέπει να βρεθούν και τα αντίστοιχα )

Ευχαριστώ για την εκτεταμένη απάντηση .
Για το εσωτερικό του δίσκου αφού βρίσκω

όποιο και να είναι το για ο hessian δεν μπορεί να είναι θετικά ορισμένος άρα δεν έχω ελάχιστο .


Για την ισότητα νομίζω πως βγήκαν τα σημεία και
Παρακαλώ διορθώστε με αν έχω λάθος

[grigkost]

Για το εσωτερικό του δίσκου αφού βρίσκω

όποιο και να είναι το για ο hessian δεν μπορεί να είναι θετικά ορισμένος άρα δεν έχω ελάχιστο .

Για την ισότητα νομίζω πως βγήκαν τα σημεία και
Παρακαλώ διορθώστε με αν έχω λάθος

1) Τα σημεία και είναι τοπικά ελάχιστα (στην πραγματικότητα είναι ολικά).

2) Ο Εσσιανός πίνακας είναι θετικά ημιορισμένος (για να αποφανθούμε αρνητικά πρέπει ο Εσσιανός να έχει και θετικές και αρνητικές ιδιοτιμές. Στην συγκεκριμένη περίπτωση οι ιδιοτιμές είναι και ) σε κάθε σημείο . Επομένως δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν σε αυτά τα σημεία η συνάρτηση παρουσιάζει ή δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Μπορείς να βρεις κάποιον άλλο τρόπο;

(Υπόδειξη: Χρησιμοποίησε τα γραφήματα της συνάρτησης και κατόπιν απόδειξε αλγεβρικά αυτό που παρατηρείς.)

[crimjoy]

Για το εσωτερικό του δίσκου αφού βρίσκω

όποιο και να είναι το για ο hessian δεν μπορεί να είναι θετικά ορισμένος άρα δεν έχω ελάχιστο .

Για την ισότητα νομίζω πως βγήκαν τα σημεία και
Παρακαλώ διορθώστε με αν έχω λάθος

1) Τα σημεία και είναι τοπικά ελάχιστα (στην πραγματικότητα είναι ολικά).

2) Ο Εσσιανός πίνακας είναι θετικά ημιορισμένος (για να αποφανθούμε αρνητικά πρέπει ο Εσσιανός να έχει και θετικές και αρνητικές ιδιοτιμές. Στην συγκεκριμένη περίπτωση οι ιδιοτιμές είναι και ) σε κάθε σημείο . Επομένως δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν σε αυτά τα σημεία η συνάρτηση παρουσιάζει ή δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Μπορείς να βρεις κάποιον άλλο τρόπο;

(Υπόδειξη: Χρησιμοποίησε τα γραφήματα της συνάρτησης και κατόπιν απόδειξε αλγεβρικά αυτό που παρατηρείς.)

Θα μπορούσαμε να πούμε πως ισχύει για όλα τα χ στο διάστημα ;

[grigkost]

..Θα μπορούσαμε να πούμε πως ισχύει για όλα τα χ στο διάστημα ;

Σε κάθε σημείο έχουμε . Όμως για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει μόνο θετικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε όλα τα σημεία η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Αντίθετα για για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει αρνητικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε αυτά τα σημεία η δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

[crimjoy]

..Θα μπορούσαμε να πούμε πως ισχύει για όλα τα χ στο διάστημα ;

Σε κάθε σημείο έχουμε . Όμως για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει μόνο θετικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε όλα τα σημεία η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Αντίθετα για για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει αρνητικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε αυτά τα σημεία η δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

Σε ευχαριστώ γίνεται αντιληπτό αυτό που λες, πηγάζει από κάποιο θεώρημα ή είναι γενικός εμπειρικός κανόνας όταν μας βγαίνει 0 να το κοιτάμε και λίγο πιο δίπλα ?

[grigkost]

Σε κάθε σημείο έχουμε . Όμως για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει μόνο θετικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε όλα τα σημεία η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Αντίθετα για για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει αρνητικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε αυτά τα σημεία η δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

Σε ευχαριστώ γίνεται αντιληπτό αυτό που λες, πηγάζει από κάποιο θεώρημα ή είναι γενικός εμπειρικός κανόνας όταν μας βγαίνει 0 να το κοιτάμε και λίγο πιο δίπλα ?

Όπως ανέφερα και παραπάνω "Γενικά η εύρεση ακροτάτων συναρτήσεων διανυσματικής μεταβλητής σε κλειστό σύνολο -δηλαδή σε σύνολο με σύνορο- δεν είναι εύκολη διαδικασία." . Υπάρχουν ισχυρές μέθοδοι -όπως οι δυο που χρησιμοποιήθηκαν, δηλαδή οι ρίζες του και η μέθοδος Lagrange- που βοηθάνε πολύ σε πολλές περιπτώσεις, αλλά δεν είναι "απόλυτες". Έτσι, κατά περίπτωση, πρέπει να κάνουμε μια διερεύνηση με "όσα όπλα έχουμε". Στην προκείμενη περίπτωση χρησιμοποιήθηκε ο ορισμός του τοπικού ακρότατου (ελαχίστου). Δεν πρόκειται για κάποιο θεώρημα. Και δεν είναι ανάγκη η συνάρτηση να μηδενίζεται στο υποψήφιο σημείο. Αρκεί να μπορούμε να αποδείξουμε το ότι ισχύει η συνθήκη του τοπικού ακροτάτου.

[crimjoy]

Σε κάθε σημείο έχουμε . Όμως για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει μόνο θετικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε όλα τα σημεία η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Αντίθετα για για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει αρνητικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε αυτά τα σημεία η δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

Σε ευχαριστώ γίνεται αντιληπτό αυτό που λες, πηγάζει από κάποιο θεώρημα ή είναι γενικός εμπειρικός κανόνας όταν μας βγαίνει 0 να το κοιτάμε και λίγο πιο δίπλα ?

Όπως ανέφερα και παραπάνω "Γενικά η εύρεση ακροτάτων συναρτήσεων διανυσματικής μεταβλητής σε κλειστό σύνολο -δηλαδή σε σύνολο με σύνορο- δεν είναι εύκολη διαδικασία." . Υπάρχουν ισχυρές μέθοδοι -όπως οι δυο που χρησιμοποιήθηκαν, δηλαδή οι ρίζες του και η μέθοδος Lagrange- που βοηθάνε πολύ σε πολλές περιπτώσεις, αλλά δεν είναι "απόλυτες". Έτσι, κατά περίπτωση, πρέπει να κάνουμε μια διερεύνηση με "όσα όπλα έχουμε". Στην προκείμενη περίπτωση χρησιμοποιήθηκε ο ορισμός του τοπικού ακρότατου (ελαχίστου). Δεν πρόκειται για κάποιο θεώρημα. Και δεν είναι ανάγκη η συνάρτηση να μηδενίζεται στο υποψήφιο σημείο. Αρκεί να μπορούμε να αποδείξουμε το ότι ισχύει η συνθήκη του τοπικού ακροτάτου.

Σε ευχαριστώ πολύ