Τύπος του D'Alembert

pito · #1

Καλησπέρα

.
Σε ένα βιβλίο διαβάζω ότι αν πάρουμε την κυματική εξίσωση $u_{tt}=c^{2}u_{xx}$ θεωρώντας την

στη μορφή $u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}u_{n}(x,t)$ και καταλήξουμε
$u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ct))^{2n}\varphi ^{(2n)}(x)}{(2n)!)}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ct)^{2n+1}\psi ^{(2n)}(x)}{c(2n+1)!)}$ , λόγω αρχικών συνθηκών, καταλήγουμε στο τύπο του D'Alembert
$u(x,t)=\frac{1}{2}[\varphi (x+ct)+\varphi (x-ct))]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi (s)ds)$

Πως προκύπτει το τελευταίο;
Ευχαριστώ.

#2

pito έγραψε: $u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ct))^{2n}\varphi ^{(2n)}(x)}{(2n)!)}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ct)^{2n+1}\psi ^{(2n)}(x)}{c(2n+1)!)}$ , λόγω αρχικών συνθηκών, καταλήγουμε στο τύπο του D'Alembert
$u(x,t)=\frac{1}{2}[\varphi (x+ct)+\varphi (x-ct))]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi (s)ds)$

Πως προκύπτει το τελευταίο;

Επιγραμματικά:

Για το αριστερό άθροισμα, βρες το ανάπτυγμα Taylor της $\phi (x+h)$ γύρω από το

. Αυτόματα θα έχεις το ανάπτυγμα Taylor της $\phi (x-h)$ γύρω από το

(απλά βάζει όπου

το

). Τώρα πρόσθεσε τα δύο που βρήκες (θα μείνουν μόνο οι άρτιες δυνάμεις του

). Εδώ

.

Για το δεύτερο άθροισμα κάνεις ακριβώς το ίδιο πράγμα για την $\psi$ . Μετά ολοκληρώνεις αυτό που βρήκες στο [x-ct, , x+ct]

.

pito · #3

Σας ευχαριστώ θερμά.

Τύπος του D'Alembert

Τύπος του D'Alembert

Re: Τύπος του D'Alembert

Re: Τύπος του D'Alembert

Μέλη σε σύνδεση