Σύνθετος Κανόνας Τραπεζίου

alexandrosvets · #1

Καλησπέρα!

Μια βοήθεια στην παρακάτω άσκηση θα ήθελα.(Άσκηση εξέτασης για την ακρίβεια.Υπάρχει περίπτωση να κάνω λάθος στον τελευταίο ολοκλήρωμα.)

Έστω το $\int_{a}^{b}g(x)dx$ ,διαμέριση του [a,b]

ως εξής :

, και έστω $\phi_i(x)$ οι συναρτήσεις βάσης της κατά τμήματα γραμμικής παρεμβολής στα x_0,x_1,...,x_n

.Να δειχθεί ότι μια προσέγγιση του $\int_{a}^{b}g(x)dx$ είναι η εξής:

$g(a)\int_{a}^{x_1}\phi_1(x)dx+\sum_{i=1}^{n-1}g(x_i)\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}\phi_i(x)dx+g(b)\int_{x_{n-1}}^{b}\phi_n(x)dx$ .

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

alexandrosvets έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 03, 2020 12:55 pm
Καλησπέρα!

Μια βοήθεια στην παρακάτω άσκηση θα ήθελα.(Άσκηση εξέτασης για την ακρίβεια.Υπάρχει περίπτωση να κάνω λάθος στον τελευταίο ολοκλήρωμα.)

Έστω το $\int_{a}^{b}g(x)dx$ ,διαμέριση του ως εξής : , και έστω $\phi_i(x)$ οι συναρτήσεις βάσης της κατά τμήματα γραμμικής παρεμβολής στα .Να δειχθεί ότι μια προσέγγιση του $\int_{a}^{b}g(x)dx$ είναι η εξής:

$g(a)\int_{a}^{x_1}\phi_1(x)dx+\sum_{i=1}^{n-1}g(x_i)\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}}\phi_i(x)dx+g(b)\int_{x_{n-1}}^{b}\phi_n(x)dx$ .

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Ο τύπος που γράφεις προκύπτει αν ολοκληρώσουμε την τμηματικά γραμμική splines που παρεμβάλει
την συνάρτηση.
Αν υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα βγαίνει ο σύνθετος τύπος του τραπεζίου.
Νομίζω ότι ο τύπος είναι σωστός.
Ποια είναι ακριβώς η απορία σου ;

κοίτα το
https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezoidal_rule

alexandrosvets · #3

Καλησπέρα και πάλι.

Στις σημειώσεις του μαθήματος είχαμε ορίσει την γραμμική spline ως εξής:

$s(x)=\sum_{i=0}^{n}g(x_i)\phi_i(x)$ ,όπου :

$\phi_i(x)=\left\{\begin{matrix} 0, & x\geq x_{i+1} \vee x\leq x_{i-1} & \\ \frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}} & x_{i-1}\leq x\leq x_{i} & \\ \frac{x_{i+1}-x}{x_{i+1}-x_i}& x_{i}\leq x\leq x_{i+1} & \end{matrix}\right.$

Την $\phi_0(x)$ και την $\phi_n(x)$ πώς τις ορίζουμε;

Edit:Βρήκα πως ορίζονται οι $\phi_0,\phi_n.$
Θα επανέλθω με τυχούσες απορίες.

alexandrosvets · #4

Λοιπόν.Έχω καταλήξει στο εξής:

Σύμφωνα με την θεωρία: $\int_{a}^{b}s(x)dx=\int_{a}^{b}\left ( \sum_{i=0}^{n}g(x_i)\phi_i(x) \right )dx=\sum_{i=0}^{n}g(x_i)\left (\int_{a}^{b} \phi_i(x)dx \right )$ .

Οι $\phi_i$ όμως είναι μη μηδενικές στα αντίστοιχα διαστήματα $[x_{i-1},x_{i+1}]$ .Άρα $\sum_{i=0}^{n}g(x_i)\left (\int_{a}^{b} \phi_i(x)dx \right )=\sum_{i=0}^{n}g(x_i)\left (\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} \phi_i(x)dx \right )$ .

Για i=0

και

έχουμε αντίστοιχα:

$g(x_0)\int_{x_0}^{x_1}\phi_0(x)dx$

$g(x_n)\int_{x_{n-1}}^{x_n}\phi_n(x)dx$ .

Άρα,καταλήγοντας έχουμε :
$g(x_0)\int_{x_0}^{x_1}\phi_0(x)dx+ \sum_{i=1}^{n-1}g(x_i)\left (\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} \phi_i(x)dx \right )+g(x_n)\int_{x_{n-1}}^{x_n}\phi_n(x)dx$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

alexandrosvets έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 03, 2020 5:54 pm
Λοιπόν.Έχω καταλήξει στο εξής:

Σύμφωνα με την θεωρία: $\int_{a}^{b}s(x)dx=\int_{a}^{b}\left ( \sum_{i=0}^{n}g(x_i)\phi_i(x) \right )dx=\sum_{i=0}^{n}g(x_i)\left (\int_{a}^{b} \phi_i(x)dx \right )$ .

Οι $\phi_i$ όμως είναι μη μηδενικές στα αντίστοιχα διαστήματα $[x_{i-1},x_{i+1}]$ .Άρα $\sum_{i=0}^{n}g(x_i)\left (\int_{a}^{b} \phi_i(x)dx \right )=\sum_{i=0}^{n}g(x_i)\left (\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} \phi_i(x)dx \right )$ .

Για και έχουμε αντίστοιχα:

$g(x_0)\int_{x_0}^{x_1}\phi_0(x)dx$

$g(x_n)\int_{x_{n-1}}^{x_n}\phi_n(x)dx$ .

Άρα,καταλήγοντας έχουμε :
$g(x_0)\int_{x_0}^{x_1}\phi_0(x)dx+ \sum_{i=1}^{n-1}g(x_i)\left (\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} \phi_i(x)dx \right )+g(x_n)\int_{x_{n-1}}^{x_n}\phi_n(x)dx$ .

όπου

Το πρόβλημα ποιο είναι ;

alexandrosvets · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 03, 2020 6:49 pm

alexandrosvets έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 03, 2020 5:54 pm
Λοιπόν.Έχω καταλήξει στο εξής:

Σύμφωνα με την θεωρία: $\int_{a}^{b}s(x)dx=\int_{a}^{b}\left ( \sum_{i=0}^{n}g(x_i)\phi_i(x) \right )dx=\sum_{i=0}^{n}g(x_i)\left (\int_{a}^{b} \phi_i(x)dx \right )$ .

Οι $\phi_i$ όμως είναι μη μηδενικές στα αντίστοιχα διαστήματα $[x_{i-1},x_{i+1}]$ .Άρα $\sum_{i=0}^{n}g(x_i)\left (\int_{a}^{b} \phi_i(x)dx \right )=\sum_{i=0}^{n}g(x_i)\left (\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} \phi_i(x)dx \right )$ .

Για και έχουμε αντίστοιχα:

$g(x_0)\int_{x_0}^{x_1}\phi_0(x)dx$

$g(x_n)\int_{x_{n-1}}^{x_n}\phi_n(x)dx$ .

Άρα,καταλήγοντας έχουμε :
$g(x_0)\int_{x_0}^{x_1}\phi_0(x)dx+ \sum_{i=1}^{n-1}g(x_i)\left (\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} \phi_i(x)dx \right )+g(x_n)\int_{x_{n-1}}^{x_n}\phi_n(x)dx$ .
όπου

Το πρόβλημα ποιο είναι ;

Καλησπέρα σας,

Αρχικά,δεν είχα κατανοήσει σωστά τις γραμμικές splines,εξ ου και οι σύγχυση με την άσκηση.Στην συνέχεια,έγραψα την αντιμετώπιση μου(που προφανώς κατάλαβα ότι ήταν η λύση),απλά ακούσια δεν την ολοκλήρωσα και δεν έδωσα την εντύπωση σε εσάς ότι το κατάλαβα.

Σας ευχαριστώ πάντως για την αρχική βοήθεια.

Σύνθετος Κανόνας Τραπεζίου

Σύνθετος Κανόνας Τραπεζίου

Re: Σύνθετος Κανόνας Τραπεζίου

Re: Σύνθετος Κανόνας Τραπεζίου

Re: Σύνθετος Κανόνας Τραπεζίου

Re: Σύνθετος Κανόνας Τραπεζίου

Re: Σύνθετος Κανόνας Τραπεζίου

Μέλη σε σύνδεση