Περίεργο Σύστημα Ολοκληροδιαφορικών Εξισώσεων

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

mikeb
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Δευ Ιουν 01, 2020 4:24 pm

Περίεργο Σύστημα Ολοκληροδιαφορικών Εξισώσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikeb » Δευ Ιουν 01, 2020 4:55 pm

Χαίρετε, ελπίζω αυτό το μύνημα να βρίσκει εσάς και την οικογένειά σας καλά στην εποχή που βρισκόμαστε.

Είμαι φοιτητής και το παρακάτω πρόβλημα (σχετικά άσχετο των σπουδών μου) το παλεύω εδώ και αρκετό καιρό, και δεν έχω σκαρφιστεί ακόμα ικανοποιητική λύση. Πρόκειται για ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων που μοντελοποιούν ένα φαινόμενο. Οι περισσότερες εξισώσεις του συστήματος είναι απλές, αλλά μία από αυτές έχει την εξής μορφή, την οποία δεν έχω ξανασυναντήσει και δεν έχω ιδέα πως να προσεγγίσω:

\frac{\mathrm{d} z_1(t)}{\mathrm{d} t} = -z_1(t)\int_0^t a(t-\tau)z_2(\tau)\mathrm{d}\tau

Όπου η συνάρτηση a(t) είναι γνωστή και z1(t), z2(t) είναι καταστάσεις του συστήματος. Όλα στους πραγματικούς αριθμούς και για t > 0. Το πρόβλημά μου είναι το ολοκλήρωμα συνέλιξης σε συνδυασμό με τον πολλαπλασιασμό της μιας κατάστασης. Αν δεν υπήρχε η συνέλιξη η εξίσωση θα έβγαζε απλά εκθετική απόσβεση. Αν δεν υπήρχε ο πολλαπλασιασμός με την κατάσταση η εξίσωση θα μπορούσε να λυθεί με μετασχηματισμό Laplace. Αυτός ο συνδυασμός όμως μου δένει τα χέρια.

Πλέον έχω πολύ λίγες ελπίδες να τη λύσω αναλυτικά, οπότε μου αρκεί και μια αριθμητική ή προσεγγιστική λύση. Θα ήθελα να αποφύγω το να γράψω το δικό μου πρόγραμμα solver. Αλλά εκτός από αυτό με ενδιαφέρει να μάθω αν υπάρχει ή αν κάποιος από εσάς ξέρει συγκεκριμένη θεωρία πίσω από τέτοιες εξισώσεις (η εξίσωση προέκυψε απλά, νομίζω είναι πολύ πιθανό να εμφανίζεται σε προβλήματα). Οποιαδήποτε βοήθεια να τη μετασχηματήσω σε κάτι πιο διαχειρίσιμο είναι επίσης αποδεκτή φυσικά.

Σας ευχαριστώ πολύ εκ των προτέρων! ~Μιχάλης.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3228
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Περίεργο Σύστημα Ολοκληροδιαφορικών Εξισώσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιουν 01, 2020 11:12 pm

mikeb έγραψε:
Δευ Ιουν 01, 2020 4:55 pm
Χαίρετε, ελπίζω αυτό το μύνημα να βρίσκει εσάς και την οικογένειά σας καλά στην εποχή που βρισκόμαστε.

Είμαι φοιτητής και το παρακάτω πρόβλημα (σχετικά άσχετο των σπουδών μου) το παλεύω εδώ και αρκετό καιρό, και δεν έχω σκαρφιστεί ακόμα ικανοποιητική λύση. Πρόκειται για ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων που μοντελοποιούν ένα φαινόμενο. Οι περισσότερες εξισώσεις του συστήματος είναι απλές, αλλά μία από αυτές έχει την εξής μορφή, την οποία δεν έχω ξανασυναντήσει και δεν έχω ιδέα πως να προσεγγίσω:

\frac{\mathrm{d} z_1(t)}{\mathrm{d} t} = -z_1(t)\int_0^t a(t-\tau)z_2(\tau)\mathrm{d}\tau

Όπου η συνάρτηση a(t) είναι γνωστή και z1(t), z2(t) είναι καταστάσεις του συστήματος. Όλα στους πραγματικούς αριθμούς και για t > 0. Το πρόβλημά μου είναι το ολοκλήρωμα συνέλιξης σε συνδυασμό με τον πολλαπλασιασμό της μιας κατάστασης. Αν δεν υπήρχε η συνέλιξη η εξίσωση θα έβγαζε απλά εκθετική απόσβεση. Αν δεν υπήρχε ο πολλαπλασιασμός με την κατάσταση η εξίσωση θα μπορούσε να λυθεί με μετασχηματισμό Laplace. Αυτός ο συνδυασμός όμως μου δένει τα χέρια.

Πλέον έχω πολύ λίγες ελπίδες να τη λύσω αναλυτικά, οπότε μου αρκεί και μια αριθμητική ή προσεγγιστική λύση. Θα ήθελα να αποφύγω το να γράψω το δικό μου πρόγραμμα solver. Αλλά εκτός από αυτό με ενδιαφέρει να μάθω αν υπάρχει ή αν κάποιος από εσάς ξέρει συγκεκριμένη θεωρία πίσω από τέτοιες εξισώσεις (η εξίσωση προέκυψε απλά, νομίζω είναι πολύ πιθανό να εμφανίζεται σε προβλήματα). Οποιαδήποτε βοήθεια να τη μετασχηματήσω σε κάτι πιο διαχειρίσιμο είναι επίσης αποδεκτή φυσικά.

Σας ευχαριστώ πολύ εκ των προτέρων! ~Μιχάλης.
Δεν ξέρω αν βοηθάει μιας και δεν υπάρχει όλο το πρόβλημα.
Εχουμε την
\displaystyle \frac{\mathrm{d} z_1(t)}{\mathrm{d} t} = -z_1(t)\int_0^t a(t-\tau)z_2(\tau)\mathrm{d}\tau

Είναι στάνταρ ότι η η  z_1(t) θα είναι ταυτοτικά μηδέν η δεν θα μηδενίζεται πουθενά.
Αν δεν είναι ταυτοτικά μηδέν θα διατηρεί πρόσημο.
Αν υποθέσουμε ότι είναι θετική τότε μπορούμε να την γράψουμε

\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ln  z_1(t)}{\mathrm{d} t} = -\int_0^t a(t-\tau)z_2(\tau)\mathrm{d}\tau
παίρνοντας Laplace στην τελευταία βρίσκουμε σχέση για τους μετασχηματισμούς Laplace
των
 \ln  z_1(t),z_2(t)


mikeb
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Δευ Ιουν 01, 2020 4:24 pm

Re: Περίεργο Σύστημα Ολοκληροδιαφορικών Εξισώσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikeb » Παρ Ιουν 26, 2020 4:42 pm

Καλησπέρα σας, σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση και με συγχωρείτε για την πολυήμερη καθυστέρηση. Η εξεταστική με κέρδισε.

Αυτή ήταν μια ενδιαφέρουσα ιδέα, και την προχώρησα από εκεί, αλλά δυστυχώς το μόνο πράγμα στο οποίο κατέληξα ήταν μια αρκετά πολύπλοκη εξίσωση "περίπου" Volterra για το z2. Ανέτρεξα στη σχετική βιβλιογραφία και βρήκα τη λύση της, όμως δυστυχώς η μορφή της εξακολουθεί να περιέχει ολοκλήρωμα συνέλιξης και παραγώγους, που σημαίνει πως αντιμετωπίζω το ίδιο πρόβλημα με πριν. Πιο αναλυτικά:
Ίσως να βοηθήσει αν σας δώσω και την 2η εξίσωση, υπό την μορφή εικόνας μιας και με βολεύει καλύτερα να γράφω LaTeX στο Overleaf.

Εικόνα

Να σημειωθεί πως έχω αλλάζει, για να αποφευχθεί σύγχιση με τις παραμέτρους της PDF τα z1 z2 με x1 x2, και το β με το r αλλά η εξίσωση είναι η ίδια.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης