Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων
Να βρεθεί ο γ.τ. των σημείων του επιπέδου των αξόνων
για τα οποία είναι:
Γεωμετρικός τόπος
-
- Δημοσιεύσεις: 1419
- Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm
Re: Γεωμετρικός τόπος
Λύση:Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων
Να βρεθεί ο γ.τ. των σημείων του επιπέδου των αξόνων
για τα οποία είναι:
Θα μελετήσουμε το πρόβλημα θεωρώντας ότι ο αριθμός είναι σταθερός.
Έστω λοιπόν ότι είναι:
Τότε από τα δεδομένα θα είναι:
ή πιο απλά:
Από τις (1) και (2) προκύπτει:
Στη συνέχεια η (3) λόγω της (4) δίνει:
δηλαδή:
όπου:
με
Ο κύκλος που εκφράζει η εξίσωση (5) είναι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου για τις τιμές της παραμέτρου
άρα και για τη συγκεκριμένη τιμή που θεωρήσαμε αρχικά.
Όμοια αν εργαστούμε με τις συντεταγμένες του σημείου προκύπτει η εξίσωση:
η οποία λειτουργεί με τις ίδιες συνθήκες, είναι η ίδια γραμμή που εκφράζει και η εξίσωση (5).
Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ο γεωμεττρικός τόπος για κάποια συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου
καθώς και τα σημεία , τα οποία είναι αντιδιαμετρικά του κύκλου αυτού και .
Σχόλιο:
Είναι προφανές ότι κάθε φορά που αλλάζει η τιμή της παραμέτρου αλλάζει και ο κύκλος και συνεπώς
και ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.
Αν θέλήσουμε τώρα να ζητήσουμε το γ. τόπο των σημείων αυτών αναφερόμενοι στη συνολική μεταβολή της παραμέτρου
τότε θα απαντήσουμε ότι αυτός για το ένα σημείο, έστω π.χ. το είναι ολόκληρο το επίπεδο, αλλά του άλλου σημείου, δηλ. του
ο κύκλος , που προκύπτει από τη θέση του σημείου και η οποία προσδιορίζει την τιμή της παραμέτρου .
Κώστας Δόρτσιος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης