Γεωμετρικός τόπος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1111
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Γεωμετρικός τόπος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τετ Μάιος 13, 2015 10:17 pm

Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων \left(O,\vec{i},\vec{j} \right).
Να βρεθεί ο γ.τ. των σημείων M,N του επιπέδου των αξόνων
για τα οποία είναι:
\vec{OM}+\vec{ON}=\vec{i}+\vec{j}
\vec{OM}\bullet\vec{ON}=\lambda
\lambda \in R.


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1834
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Μάιος 14, 2015 10:55 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων \left(O,\vec{i},\vec{j} \right).
Να βρεθεί ο γ.τ. των σημείων M,N του επιπέδου των αξόνων
για τα οποία είναι:
\vec{OM}+\vec{ON}=\vec{i}+\vec{j}
\vec{OM}\bullet\vec{ON}=\lambda
\lambda \in R.
Λύση:

Θα μελετήσουμε το πρόβλημα θεωρώντας ότι ο αριθμός \displaystyle{\lambda} είναι σταθερός.

Έστω λοιπόν ότι είναι:

\displaystyle{ \vec{OM}=(a,b),\  \  a,b \in R},  \ \vec{ON}=(x,y), \  \ x,y \in R

Τότε από τα δεδομένα θα είναι:

\displaystyle{(a,b)+(x,y)=(1,1)}

\displaystyle{ax+by=\lambda, \  \  \lambda \in R}

ή πιο απλά:

\displaystyle{a+x=1 \  \ (1)}

\displaystyle{b+y=1 \  \ (2)}

\displaystyle{ax+by=\lambda \  \ (3)}

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

\displaystyle{ a=1-x, \  \ b=1-y \  \ (4)}

Στη συνέχεια η (3) λόγω της (4) δίνει:

\displaystyle{(1-x)x+(1-y)y=\lambda }

δηλαδή:

\displaystyle{(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=r^2 \  \  (5) }

όπου:

\displaystyle{r=\sqrt{\lambda - \frac{1}{2}}} με \displaystyle{ \lambda \geq \frac{1}{2}}

Ο κύκλος που εκφράζει η εξίσωση (5) είναι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου \displaystyle{N} για τις τιμές της παραμέτρου \displaystyle{ \lambda \geq \frac{1}{2}}

άρα και για τη συγκεκριμένη τιμή που θεωρήσαμε αρχικά.

Όμοια αν εργαστούμε με τις συντεταγμένες του σημείου \displaystyle{M} προκύπτει η εξίσωση:

\displaystyle{(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2=r^2 \  \ (6)}

η οποία λειτουργεί με τις ίδιες συνθήκες, είναι η ίδια γραμμή που εκφράζει και η εξίσωση (5).

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ο γεωμεττρικός τόπος για κάποια συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου \displaystyle{\lambda}

καθώς και τα σημεία \displaystyle{M, N}, τα οποία είναι αντιδιαμετρικά του κύκλου αυτού και \displaystyle{ S=(1,1)}.
Γεωμετρικός τόπος 1.PNG
Γεωμετρικός τόπος 1.PNG (25.27 KiB) Προβλήθηκε 1433 φορές
Σχόλιο:
Είναι προφανές ότι κάθε φορά που αλλάζει η τιμή της παραμέτρου \displaystyle{\lambda} αλλάζει και ο κύκλος και συνεπώς

και ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.

Αν θέλήσουμε τώρα να ζητήσουμε το γ. τόπο των σημείων αυτών αναφερόμενοι στη συνολική μεταβολή της παραμέτρου \displaystyle{\lambda \in [\frac{1}{2}, \propto)}

τότε θα απαντήσουμε ότι αυτός για το ένα σημείο, έστω π.χ. το \displaystyle{M} είναι ολόκληρο το επίπεδο, αλλά του άλλου σημείου, δηλ. του \displaystyle{N}

ο κύκλος \displaystyle{C_{\lambda}}, που προκύπτει από τη θέση του σημείου \displaystyle{M} και η οποία προσδιορίζει την τιμή της παραμέτρου \displaystyle{\lamba}.

Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Νέες Προσθήκες”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης