Γεωμετρικός τόπος

Φανης Θεοφανιδης · #1

Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων $\left(O,\vec{i},\vec{j} \right).$
Να βρεθεί ο γ.τ. των σημείων M,N

του επιπέδου των αξόνων
για τα οποία είναι:
$\vec{OM}+\vec{ON}=\vec{i}+\vec{j}$
$\vec{OM}\bullet\vec{ON}=\lambda$
$\lambda \in R.$

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων $\left(O,\vec{i},\vec{j} \right).$
Να βρεθεί ο γ.τ. των σημείων του επιπέδου των αξόνων
για τα οποία είναι:
$\vec{OM}+\vec{ON}=\vec{i}+\vec{j}$
$\vec{OM}\bullet\vec{ON}=\lambda$
$\lambda \in R.$

Λύση:

Θα μελετήσουμε το πρόβλημα θεωρώντας ότι ο αριθμός $\displaystyle{\lambda}$ είναι σταθερός.

Έστω λοιπόν ότι είναι:

$\displaystyle{ \vec{OM}=(a,b),\ \ a,b \in R}, \ \vec{ON}=(x,y), \ \ x,y \in R$

Τότε από τα δεδομένα θα είναι:

$\displaystyle{(a,b)+(x,y)=(1,1)}$

$\displaystyle{ax+by=\lambda, \ \ \lambda \in R}$

ή πιο απλά:

$\displaystyle{a+x=1 \ \ (1)}$

$\displaystyle{b+y=1 \ \ (2)}$

$\displaystyle{ax+by=\lambda \ \ (3)}$

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

$\displaystyle{ a=1-x, \ \ b=1-y \ \ (4)}$

Στη συνέχεια η (3) λόγω της (4) δίνει:

$\displaystyle{(1-x)x+(1-y)y=\lambda }$

δηλαδή:

$\displaystyle{(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=r^2 \ \ (5) }$

όπου:

$\displaystyle{r=\sqrt{\lambda - \frac{1}{2}}}$ με $\displaystyle{ \lambda \geq \frac{1}{2}}$

Ο κύκλος που εκφράζει η εξίσωση (5) είναι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου $\displaystyle{N}$ για τις τιμές της παραμέτρου $\displaystyle{ \lambda \geq \frac{1}{2}}$

άρα και για τη συγκεκριμένη τιμή που θεωρήσαμε αρχικά.

Όμοια αν εργαστούμε με τις συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{M}$ προκύπτει η εξίσωση:

$\displaystyle{(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2=r^2 \ \ (6)}$

η οποία λειτουργεί με τις ίδιες συνθήκες, είναι η ίδια γραμμή που εκφράζει και η εξίσωση (5).

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ο γεωμεττρικός τόπος για κάποια συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{\lambda}$

καθώς και τα σημεία $\displaystyle{M, N}$ , τα οποία είναι αντιδιαμετρικά του κύκλου αυτού και $\displaystyle{ S=(1,1)}$ .

: Γεωμετρικός τόπος 1.PNG (25.27 KiB) Προβλήθηκε 2665 φορές

Σχόλιο:
Είναι προφανές ότι κάθε φορά που αλλάζει η τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{\lambda}$ αλλάζει και ο κύκλος και συνεπώς

και ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.

Αν θέλήσουμε τώρα να ζητήσουμε το γ. τόπο των σημείων αυτών αναφερόμενοι στη συνολική μεταβολή της παραμέτρου $\displaystyle{\lambda \in [\frac{1}{2}, \propto)}$

τότε θα απαντήσουμε ότι αυτός για το ένα σημείο, έστω π.χ. το $\displaystyle{M}$ είναι ολόκληρο το επίπεδο, αλλά του άλλου σημείου, δηλ. του $\displaystyle{N}$

ο κύκλος $\displaystyle{C_{\lambda}}$ , που προκύπτει από τη θέση του σημείου $\displaystyle{M}$ και η οποία προσδιορίζει την τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{\lamba}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Γεωμετρικός τόπος

Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση