Βοήθεια σε άσκηση

BGNMK · #1

f κοίλη [-1,1], f(A)=[0,1] και ολοκλήρωμα από 1 έως f(o), f(x)dx =0. Επίσης
|f(1)|^2+|f(-1)-1|^2=1. Να δείξω ότι f ' (0) = 0.

mathxl · #2

Καλημέρα αν κατάλαβα καλά αυτά που γράφεις τότε από το ολοκλήρωμα έχουμε έχουμε ότι η f είναι η μηδενική ή ότι τα όρια ολοκλήρωσης είναι ίσα αφού f(Α)=[0,1]
Αν ήταν παντού μηδέν τότε δεν θα ήταν κοίλη, άτοπο.
Άρα f(0)=1 και f(x)=<1 άρα στο εσωτερικό σημείο 0 έχουμε μέγιστο στο οποίο η συνάρτηση μας είναι παραγωγίσιμη ως κοίλη. Από Φερμουάρ έχουμε το ζητούμενο. Πάντα με σχολικά μαθηματικά

#3

Αν η άσκηση είναι σωστή (περιέχει παραπάνω στοιχεία), κάτι σκέφτομαι λάθος εγώ.

Όπως και να έχει παραθέτω τη σκέψη μου στην μαθηματική μας κοινότητα και περιμένω με αγωνία τις απόψεις σας.

H f είναι κοίλη, άρα η f' υπάρχει στο (-1,1) και η f' είναι γνησίως φθίνουσα.

Αφού f(Α) = [0,1], τότε $f(x) \geq 0, x \in [-1,1]$ χωρίς να είναι παντού μηδέν,
οπότε $\int_a^bf(x)dx>0$ , όταν α<b.

Επομένως αν $f(0) \neq 1$ , έχουμε: $\int_1^{f(0)}f(x)dx<0$ , απορρίπτεται,

άρα f(0)=1.

Αν 0<x<1, τότε αφού $f(x) \leq 1$ , οπότε $\displaystyle{\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \leq 0}$ και παίρνοντας όριο στο 0+ βρίσκουμε ότι $f{'}(0) \leq 0$ .

Αν -1<x<0, τότε $\displaystyle{\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \geq 0}$ και παίρνοντας όριο στο 0- βρίσκουμε ότι $f{'}(0) \geq 0$ .

Συνεπώς: f'(0)=0.

#4

Η f δεν μπορεί να είναι σταθερή σε κανένα διάστημα γιατί είναι κοίλη [1]

Δίνεται ότι f(A)=[0,1] άρα $\displaystyle{f(x)\ge 0}$ .[2]

Η f δεν είναι παντου 0 στο [0,1] τότε $\displaystyle{\int_{1}^{f(0)}{f(t)dt<0}}$ λόγω των [1],[2], εφ όσον $\displaystyle{f(0)\ne 1}$ . Άτοπο άρα $\displaystyle{f(0)=1}$

Τότε επειδή $\displaystyle{f(x)\le 1=f(0)}$ η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat στο [-1,1]

Δεν βλέπω γιατί δίνει την τελευταια συνθήκη $\displaystyle{f^2(1)+(f(-1)-1)^2=1}$

#5

R BORIS έγραψε: Δεν βλέπω γιατί δίνει την τελευταια συνθήκη $\displaystyle{f^2(1)+(f(-1)-1)^2=1}$

Συμφωνώ απολύτως

.

Αν θέλω να πάω και παρακάτω νομίζω ότι λόγω του f(A)=[0,1] δεν χρειάζεται η κοίλη, αλλά απλά η παραγωγισιμότητα.

Christos.N · #6

Μάλλον η άσκηση είχε και άλλα ερωτήματα, που δεν τα έγραψε ο φίλος.

BGNMK · #7

Συνάδερφοι σας ευχαριστώ πολύ! Τα δεδομένα - ζητούμενα ήταν ότι μου μετέφερε μαθητής από το σχολείο του.

Βοήθεια σε άσκηση

Βοήθεια σε άσκηση

Re: Βοήθεια σε άσκηση

Re: Βοήθεια σε άσκηση

Re: Βοήθεια σε άσκηση

Re: Βοήθεια σε άσκηση

Re: Βοήθεια σε άσκηση

Re: Βοήθεια σε άσκηση

Μέλη σε σύνδεση