Διάσπαση συνάρτησης σε επί συναρτήσεις

#1

Να αποδειχθεί ότι κάθε συνάρτηση $f : \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ γράφεται ως άθροισμα f=g+h

όπου $g, h : \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ επί συναρτήσεις.

#2

Μπορούμε για παράδειγμα να πάρουμε τις

$\displaystyle g(x) = \begin{cases} -x+\frac{1}{x} & x < 0 \\ f(0) & x=0 \\ f(x) + x - \frac{1}{x} & x > 0 \end{cases}$

και

$\displaystyle h(x) = \begin{cases} f(x)+x-\frac{1}{x} & x < 0 \\ 0 & x=0 \\ -x + \frac{1}{x} & x > 0 \end{cases}$

Επειδή

συνεχής στο $(-\infty,0)$ με $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty$ και $\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}} g(x) = -\infty$ από Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών η

είναι επί. (Στη θέση της $\displaystyle -x + \frac{1}{x}$ θα μπορούσαμε ασφαλώς να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε άλλη συνεχή συνάρτηση ορισμένη στο $(-\infty,0)$ που είναι επί.)

Ομοίως και η

είναι επί κοιτάζωντας το $(0,\infty)$ .

Διάσπαση συνάρτησης σε επί συναρτήσεις

Διάσπαση συνάρτησης σε επί συναρτήσεις

Re: Διάσπαση συνάρτησης σε επί συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση