Ασυνάρτηση συνάρτηση

#1

.
Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση

f : \mathbb R\longrightarrow \mathbb R

που ικανοποιεί την σχέση

f(x)= x^2+ \int _0^xe^{-t} f(x-t)dt

για κάθε $x\in \mathbb R$

Tolaso J Kos · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 8:35 am .
Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : \mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ που ικανοποιεί την σχέση

$f(x)= x^2+ \int _0^xe^{-t} f(x-t)dt$ για κάθε $x\in \mathbb R$

Θέτω

οπότε

\begin{aligned} \int_{0}^{x} e^{-t} f \left( x -t \right) \, \mathrm{d}t & \overset{u=x-t}{=\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{x} e^{x-u} f(u) \, \mathrm{d} u \\ & = e^x \int_{0}^{x} e^{-u} f(u) \, \mathrm{d}u \end{aligned}

Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με παράγωγο

\begin{aligned} f'(x) &= 2x + e^x \int_{0}^{x} e^{-u} f(u) \, \mathrm{d}u + f(x) \\ & = 2x + \left( f(x) - x^2 \right) + f(x) \\ & = 2x + 2f(x) - x^2 \end{aligned}

Οπότε,

\begin{aligned} f'(x) - 2f(x) = 2x - x^2 & \Rightarrow e^{-2x} f'(x) - 2e^{-2x} f(x) = e^{-2x} \left( 2x - x^2 \right) \\ & \Rightarrow \left( e^{-2x} f(x) \right) ' = \left( \frac{e^{-2x} \left( 2x^2-2x-1 \right)}{4} \right)' \\ & \Rightarrow e^{-2x} f(x) = \frac{e^{-2x} \left( 2x^2-2x-1 \right)}{4} + c \\ & \!\!\!\!\!\!\overset{f(0)= 0 \Rightarrow c=1/4}{=\! =\! =\! =\! \Rightarrow } e^{-2x} f(x) = \frac{e^{-2x} \left( 2x^2-2x-1 \right)}{4} + \frac{1}{4} \\ & = f(x) = \frac{2x^2-2x-1}{4} + \frac{e^{2x}}{4} \end{aligned}

#3

Τόλη, για ξαναδές το αυτό:

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 9:22 am
$\int_{0}^{x} e^{-t} f \left( x -t \right) \, \mathrm{d}t \overset{u=x-t}{=\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{x} e^{x-u} f(u) \, \mathrm{d} u$

Tolaso J Kos · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 10:09 am Τόλη, για ξαναδές το αυτό:

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 9:22 am
$\int_{0}^{x} e^{-t} f \left( x -t \right) \, \mathrm{d}t \overset{u=x-t}{=\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{x} e^{x-u} f(u) \, \mathrm{d} u$

Ουπς... έχω τυπογραφικό. Θα το κοιτάξω και θα επανέλθω.

sov_arvyd · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 8:35 am .
Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : \mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ που ικανοποιεί την σχέση

$f(x)= x^2+ \int _0^xe^{-t} f(x-t)dt$ για κάθε $x\in \mathbb R$

Με τον μετασχηματισμό u=x-t

έχουμε

f(x)=x^2-e^x\int_{0}^{x}e^{-u}f(u)du

.

Θέτουμε

g(x)=e^{-x}f(x), x\in R

, και

την παράγουσά της με G(0)=0

, δηλαδή, ισοδύναμα,

G(x)=\int_{0}^{x}g(t)dt

.

Τότε, πολλαπλασιάζοντας με $e^{-x}$ και αναδιατάσσοντας η σχέση γίνεται:

g(x)+G(x)=e^{-x}x^2\Leftrightarrow e^xg(x)+e^xG(x)=x^2\Leftrightarrow (e^xG(x))'=(\frac{x^3}{3})'\Leftrightarrow e^xG(x)=\frac{x^3}{3}+c

. Επειδή

έχουμε

.

Επομένως

G(x)=e^{-x}\frac{x^3}{3}

. Παραγωγίζοντας και απλοποιώντας αφού θυμηθούμε ότι $g(x)=e^{-x}f(x)$ βρίσκουμε

f(x)=x^2-x^3/3

.

Σημείωση: Δεν χρειαστήκαμε την παραγωγισιμότητα.

Ασυνάρτηση συνάρτηση

Ασυνάρτηση συνάρτηση

Re: Ασυνάρτηση συνάρτηση

Re: Ασυνάρτηση συνάρτηση

Re: Ασυνάρτηση συνάρτηση

Re: Ασυνάρτηση συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση