Ορθογώνιο μέσα σε παραβολές

Συντονιστές: Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Πυθαγόρεια Τριάδα
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Παρ Δεκ 10, 2021 9:52 am
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Πυθαγόρεια Τριάδα

Ορθογώνιο μέσα σε παραβολές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πυθαγόρεια Τριάδα » Πέμ Μαρ 24, 2022 4:10 pm

Θεωρούμε τις παραβολές f(x) = x^2 -1 και g(x) = 1 - x^2 ορισμένες στο κλειστό διάστημα [-1,1].

Θεωρούμε ένα ορθογώνιο ABCD του οποίου οι κορυφές Α και D βρίσκονται επί της γραφικής παράστασης της g και οι κορυφές B και C βρίσκονται επί της γραφικής παράστασης της f. Υποθέτουμε επίσης ότι ο άξονας y είναι άξονας συμμετρίας του ορθογωνίου αυτού.
  • Αν οι συντεταγμένες του σημείου D είναι (x, 1-x^2), x \in [0,1] να εκφράσετε τις συντεταγμένες των υπόλοιπων κορυφών ως προς τη μεταβλητή χ.
  • Αν A(-x,1-x^2), B(-x, x^2 - 1), C(x,x^2 - 1), D(x, 1-x^2) για x \in [0,1] τότε να βρείτε:
  1. Την συνάρτηση E : [0,1] \to \mathbb{R} του εμβαδού του ορθογωνίου και να την μελετήσετε ως προς τα ακρότατα της.
  • Την συνάρτηση P : [0,1] \to \mathbb{R} της περιμέτρου του ορθογωνίου και να την μελετήσετε ως προς τα ακρότατα της.


Α.Κατσαμπάκος
Α.Κουτουζής
Δ.Πρώιας
Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΡΑΒΟΛΕΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΑΚΡΟΤΑΤΑ
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18261
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ορθογώνιο μέσα σε παραβολές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μαρ 25, 2022 1:50 am

Προς τους θεματοθέτες "Πυθαγόρεια τριάδα": Αν αναρτάτε θέματα, καλό είναι να παρακολοθείτε την συζήτηση που προκύπτει για να μην έχουμε και πάλι φαινόμενα όπως εδώ. Παρακαλώ δείτε, ιδίως, τις τελευταίες λέξεις στο εκεί ποστ #10.


Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18261
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ορθογώνιο μέσα σε παραβολές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Απρ 20, 2022 12:38 am

Πυθαγόρεια Τριάδα έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 24, 2022 4:10 pm
 Θεωρούμε τις παραβολές f(x) = x^2 -1 και g(x) = 1 - x^2 ορισμένες στο κλειστό διάστημα [-1,1].

Θεωρούμε ένα ορθογώνιο ABCD του οποίου οι κορυφές Α και D βρίσκονται επί της γραφικής παράστασης της g και οι κορυφές B και C βρίσκονται επί της γραφικής παράστασης της f. Υποθέτουμε επίσης ότι ο άξονας y είναι άξονας συμμετρίας του ορθογωνίου αυτού.
  • Αν οι συντεταγμένες του σημείου D είναι (x, 1-x^2), x \in [0,1] να εκφράσετε τις συντεταγμένες των υπόλοιπων κορυφών ως προς τη μεταβλητή χ.
  • Αν A(-x,1-x^2), B(-x, x^2 - 1), C(x,x^2 - 1), D(x, 1-x^2) για x \in [0,1] τότε να βρείτε:
  1. Την συνάρτηση E : [0,1] \to \mathbb{R} του εμβαδού του ορθογωνίου και να την μελετήσετε ως προς τα ακρότατα της.
  • Την συνάρτηση P : [0,1] \to \mathbb{R} της περιμέτρου του ορθογωνίου και να την μελετήσετε ως προς τα ακρότατα της.
Για να κλείνει.

Λόγω συμμετρίας, η τετμημένη του A είναι -x, άρα το σημείο αυτό είναι το A(-x,1-x^2). Όμοια τα B,\, C, \, D τα οποία άλλωστε δίνονται στην επόμενη ερώτηση της εκφώνησης.

Είναι λοιπόν AB=(1-x^2)-(x^2-1)= 2(1-x^2) και AD=2x. Άρα E=4x(1-x^2) = 4x-4x^2 και P= 4(1-x^2)+4x= 4+4x-4x^2.

Πρόκειται για απλές πολυωνυμικές παραστάσεις, και η μελέτη τους είναι ρουτίνα. Το αφήνω ως άμεσο και απλό, με μόνο σχόλιο ότι το πεδίο ορισμού τους πρέπει να θεωρηθεί το (0,1) και όχι το [0,1] της εκφώνησης, για να μην έχουμε εκφυλισμένο παραλληλόγραμμο.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης