Ορισμός συνέχειας σχολικού βιβλίου

[Maidenas]

Καλημερα, θα ήθελα την γνώμη σας σχετικά με τον ορισμό της συνέχειας που δίνει το σχολικό βιβλίο και πως ένας εκπαιδευτικός θα μπορούσε να διαχειριστεί ΣΩΣΤΑ τυχόν απορίες μαθητών ώστε να μην του δημιουργηθούν αρνητικά αντανακλαστικά και ως προς το μάθημα αλλά και να μην χάσουν την εμπιστοσύνη τους προς τον καθηγητή.

Υπάρχουν συναρτήσεις που το πεδίο ορισμού τους μπορεί να είναι διάστημα και ένωση με κάποιο μεμονωμένο σημείο.
Ως γνωστόν το μεμονωμένο σημείο δεν μπορεί να προσεγγιστεί με κάποιο τρόπο ώστε να έχει νόημα να πάρουμε όριο που το χ να τείνει στο σημείο αυτό. Και άρα να μην έχει νόημα να ελέγξουμε την συνέχεια με βάση τον ορισμό του λυκείου.

Αν πούμε οτι η συνάρτηση δεν είναι συνεχής εκεί, διότι δεν έχει νόημα το όριο στο σημείο αυτό, τότε πως διαχειριζόμασταν το εξής:

Έστω συνάρτηση
Αυτή έχει πεδίο ορισμού το

Θα μπορούσε κάποιος εύκολα να το αποφύγει λέγοντας πως επειδή δεν μπορώ να πάρω όριο στο 0, άρα δεν είναι συνεχής στο 0.
Απο την άλλη έχουμε το θεώρημα που λέει οτι αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση είναι συνεχής στο , τότε η σύνθεσή τους είναι συνεχής στο .

Η όμως μπορεί να γραφεί ως σύνθεση , όπου


Και τότε το Θεώρημα καταρρίπτεται...

Πως το διαχειριζόμαστε;;

[george visvikis]

Καλημέρα!

Στο σχολικό βιβλίο αναφέρεται ρητά ότι εξετάζονται μόνο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων.

[Maidenas]

Έστω, και πάλι το Θεώρημα δεν είναι καλά διατυπωμένο διότι σε αυτήν την κατηγορία ανήκουν και οι συναρτήσεις g, και h στο παράδειγμά μου.

[Christos.N]

Πως καταρρίπτεται;

Έστω, και πάλι το Θεώρημα δεν είναι καλά διατυπωμένο διότι σε αυτήν την κατηγορία ανήκουν και οι συναρτήσεις g, και h στο παράδειγμά μου.

[Maidenas]

Η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση είναι συνεχής στο .
Άρα η συνάρτηση είναι συνεχής στο . Όμως το είναι μεμονωμένο σημείο για την

[Christos.N]

Η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση είναι συνεχής στο .
Άρα η συνάρτηση είναι συνεχής στο . Όμως το είναι μεμονωμένο σημείο για την

Αφού εξ' ορισμού δεν είπαμε ότι δεν έχει νόημα το πεδίο ορισμού της να περιέχει μεμονωμένα σημεία;

[Maidenas]

Σου ανέφερα ένα παράδειγμα συναρτήσεων και που ικανοποιούν κατά γράμμα το θεώρημα και επιπλέον είναι ορισμένες σε διάστημα ή ένωση διαστημάτων, δηλαδή με συναρτήσεις που δεν έχουν μεμονωμένα σημεία στο πεδίο ορισμού τους. Τυχαίνει η σύνθεσή τους να έχει στο πεδίο ορισμού μεμονωμένο σημείο.
Άρα όπως είναι διατυπωμένο το θεώρημα υπάρχει πρόβλημα.

[Christos.N]

άρα αυτές οι συναρτήσεις που η σύνθεση τους έχει μεμονωμένο σημείο στο πεδίο ορισμού της μήπως είναι εκτός προδιαγραφών της σχολικής πραγματικότητας; Δηλαδή το παράδειγμα σου αποκλείεται ad hoc ;

Σου ανέφερα ένα παράδειγμα συναρτήσεων και που ικανοποιούν κατά γράμμα το θεώρημα και επιπλέον είναι ορισμένες σε διάστημα ή ένωση διαστημάτων, δηλαδή με συναρτήσεις που δεν έχουν μεμονωμένα σημεία στο πεδίο ορισμού τους. Τυχαίνει η σύνθεσή τους να έχει στο πεδίο ορισμού μεμονωμένο σημείο.
Άρα όπως είναι διατυπωμένο το θεώρημα υπάρχει πρόβλημα.

[Maidenas]

Πιο πολύ με απασχολεί πως το διαχειρίζεται ένας καθηγητής μαθηματικών μια τέτοια περίπτωση αν ποτέ προκύψει..
Μία τέτοια άσκηση μπορεί να την βρει είτε σε βοήθημα, είτε σε φυλλάδιο απο ασκήσεις φροντηστηρίου, είτε στο ιντερνετ, οπουδήποτε...

Τα παιδιά πρέπει να έχουν την αίσθηση της ασφάλειας ότι οι προτάσεις και τα θεωρήματα έχουν πάντα ισχύ πάνω στις υποθέσεις τους και δεν παρουσιάζουν ιδιομορφίες ή εξαιρέσεις.

Για παράδειγμα σε βοήθημα του Σαβάλλα κάνει μια αναφορά πότε έχει νόημα η αναζήτηση ενός ορίου, και μάλιστα έχει ένα παράδειγμα που μια συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού μεμονωμένο σημείο και άρα δεν έχει νόημα η αναζήτηση ορίου εκεί.

Πως το διαχειρίζεται ένας καθηγητής αυτό;

[george visvikis]

Πιο πολύ με απασχολεί πως το διαχειρίζεται ένας καθηγητής μαθηματικών μια τέτοια περίπτωση αν ποτέ προκύψει..
Μία τέτοια άσκηση μπορεί να την βρει είτε σε βοήθημα, είτε σε φυλλάδιο απο ασκήσεις φροντηστηρίου, είτε στο ιντερνετ, οπουδήποτε...

Κάτι τέτοιο δεν πρόκειται να προκύψει ποτέ, γιατί είπαμε ότι αυτές οι συναρτήσεις είναι εκτός ύλης. Το μόνο λοιπόν που έχει να κάνει ο καθηγητής είναι να πει στο μαθητή (ή στη μαθήτρια) ότι αυτού του τύπου οι συναρτήσεις δεν εξετάζονται.

[stranger]

Καλημερα, θα ήθελα την γνώμη σας σχετικά με τον ορισμό της συνέχειας που δίνει το σχολικό βιβλίο και πως ένας εκπαιδευτικός θα μπορούσε να διαχειριστεί ΣΩΣΤΑ τυχόν απορίες μαθητών ώστε να μην του δημιουργηθούν αρνητικά αντανακλαστικά και ως προς το μάθημα αλλά και να μην χάσουν την εμπιστοσύνη τους προς τον καθηγητή.

Υπάρχουν συναρτήσεις που το πεδίο ορισμού τους μπορεί να είναι διάστημα και ένωση με κάποιο μεμονωμένο σημείο.
Ως γνωστόν το μεμονωμένο σημείο δεν μπορεί να προσεγγιστεί με κάποιο τρόπο ώστε να έχει νόημα να πάρουμε όριο που το χ να τείνει στο σημείο αυτό. Και άρα να μην έχει νόημα να ελέγξουμε την συνέχεια με βάση τον ορισμό του λυκείου.

Αν πούμε οτι η συνάρτηση δεν είναι συνεχής εκεί, διότι δεν έχει νόημα το όριο στο σημείο αυτό, τότε πως διαχειριζόμασταν το εξής:

Έστω συνάρτηση
Αυτή έχει πεδίο ορισμού το

Θα μπορούσε κάποιος εύκολα να το αποφύγει λέγοντας πως επειδή δεν μπορώ να πάρω όριο στο 0, άρα δεν είναι συνεχής στο 0.
Απο την άλλη έχουμε το θεώρημα που λέει οτι αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση είναι συνεχής στο , τότε η σύνθεσή τους είναι συνεχής στο .

Η όμως μπορεί να γραφεί ως σύνθεση , όπου


Και τότε το Θεώρημα καταρρίπτεται...

Πως το διαχειριζόμαστε;;

Για τα σχολικά μαθηματικά ισχύει αυτό που είπαν οι προλαλήσαντες.
Το παράδειγμά σου δείχνει για ποιο λόγο στα αληθινά μαθηματικά ο ορισμός της συνέχειας δεν είναι με όριο.
Ουσιαστικά με τον αληθινό ορισμό της συνέχειας όταν το σημείο είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της συνάρτησης(δηλαδή δεν είναι μεμονωμένο σημείο) τότε η συνέχεια είναι ισοδύναμη με το όριο που μάθαμε στο σχολείο.
Όταν το σημείο είναι μεμονωμένο η συνάρτηση είναι αυτόματα συνεχής(αποδεικνύεται από τον ορισμό της συνέχειας).
Οπότε το παράδειγμά σου είναι ένας λόγος που ορίζεται έτσι η συνέχεια.

[george visvikis]

Μία παρόμοια συζήτηση είχε γίνει και εδώ