Την βάψαμε! Τα Μαθηματικά έπεσαν σε κρίση.

#1

.
Δεν την βάψαμε καθόλου. Τα Μαθηματικά δεν έπεσαν σε κρίση αλλά εδώ θέλω να κάνω μία ερώτηση κρίσης:

Σχεδίασα με δύο διαφορετικά λογισμικά την συνάρτηση $f(x)= \dfrac {\sin (x+60)}{\sin x}$ .

Τα αποτελέσματα φαίνοται παρακάτω. Το ένα την έβγαλε γνήσια αύξουσα ανάμεσα στις ασυμπτώτους της και η άλλη την έβγαλε γνήσια φθίνουσα ανάμεσα στις ασυμπτώτους της.

Τι γίνεται! 'Αλλα ο ένας, άλλα ο άλλος; Έχουν κρίση τα Μαθηματικά; Σίγουρα δεν φταίνε τα λογισμικά καθώς έκαναν σωστά τη δουλειά τους.

Μπορείτε να ερμηνεύσετε το φαινόμενο;

Η άσκηση απευθύνεται πρωτίστως σε μαθητές μας, όμως νομίζω ότι είναι χρήσιμη και στους συναδέλφους για αξιοποίηση στην τάξη τους. Είναι κατασκευής μου.

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 18, 2025 4:08 pm
.
Δεν την βάψαμε καθόλου. Τα Μαθηματικά δεν έπεσαν σε κρίση αλλά εδώ θέλω να κάνω μία ερώτηση κρίσης:

Σχεδίασα με δύο διαφορετικά λογισμικά την συνάρτηση $f(x)= \dfrac {\sin (x+60)}{\sin x}$ .

Τα αποτελέσματα φαίνοται παρακάτω. Το ένα την έβγαλε γνήσια αύξουσα ανάμεσα στις ασυμπτώτους της και η άλλη την έβγαλε γνήσια φθίνουσα ανάμεσα στις ασυμπτώτους της.

Τι γίνεται! 'Αλλα ο ένας, άλλα ο άλλος; Έχουν κρίση τα Μαθηματικά; Σίγουρα δεν φταίνε τα λογισμικά καθώς έκαναν σωστά τη δουλειά τους.

Μπορείτε να ερμηνεύσετε το φαινόμενο;

Η άσκηση απευθύνεται πρωτίστως σε μαθητές μας, όμως νομίζω ότι είναι χρήσιμη και στους συναδέλφους για αξιοποίηση στην τάξη τους. Είναι κατασκευής μου.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

.
Αυτό που έχω κατά νου είναι το εξής: Το λογισμικό είναι ρυθμισμένο να δουλεύει είτε σε μοίρες είτε σε ακτίνια. Ας εξετάσουμε τις δύο περιπτώσεις χωριστά.

α) Μοίρες. Στο x=0

έχουμε ασύμπτωτο, λόγω του παρονομαστή. Λίγο δεξιά του

, τα $\sin x, \, \sin (x+60)$ είναι και τα δύο θετικά, οπότε το $\dfrac {\sin (x+60)}{\sin x}$ παίρνει μεγάλες θετικές τιμές, και το γράφημα φθίνει. Είναι η περίπτωση της εικόνας δεξιά στο ποστ #1.

β) Ακτίνια. Όπως πριν, στο x=0

έχουμε ασύμπτωτο αλλά την διαφορά την κάνει ο αριθμητής: Επειδή είναι

$19\pi \approx 59,69 < 60 < 62,83 \approx 20\pi$ σημαίνει ότι τα

ακτίνια είναι μεταξύ του $19\pi$ και του $20 \pi$ . Ακριβέστερα, ισχύει $60 = 19\pi + \phi$ για κάποιο $\phi$ με $0 < \phi < \pi$ (στην πραγματικότητα είναι $\phi \approx 0,3098$ αλλά η πληροφορία αυτή δεν μας χρειάζεται).

Έτσι, επειδή το $19 \pi$ είναι περιττό πολλαπλάσιο του $\pi$ (εδώ είναι το μυστικό) έχουμε $\sin (x+60) = \sin (x+ \phi + 19 \pi )= - \sin (x+\phi)$ . Που σημαίνει ότι για μικρά θετικά

το $\sin (x+60)$ είναι αρνητικό. Συνεπώς τότε το $\dfrac {\sin (x+60)}{\sin x}$ παίρνει μεγάλες αρνητικές τιμές, και το γράφημα αυξάνει. Είναι η περίπτωση της εικόνας αριστερά στο ποστ #1.

Την μία το γράφημα φθίνει και την άλλη αυξάνει, ανάλογα με το πώς μετράς τις γωνίες.

Νομίζω ότι είναι χρήσιμη παρατήρηση για συζήτηση μέσα στην τάξη. Δεν την έχω δει πουθενά.

Την βάψαμε! Τα Μαθηματικά έπεσαν σε κρίση.

Την βάψαμε! Τα Μαθηματικά έπεσαν σε κρίση.

Re: Την βάψαμε! Τα Μαθηματικά έπεσαν σε κρίση.

Re: Την βάψαμε! Τα Μαθηματικά έπεσαν σε κρίση.

Μέλη σε σύνδεση