ΘΕΜΑ(2)

Συντονιστές: Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS

APOSTOLAKIS
Δημοσιεύσεις: 137
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 6:09 pm

ΘΕΜΑ(2)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από APOSTOLAKIS » Τρί Ιαν 06, 2009 11:32 pm

Δίνεται η συνάρτηση g(x)=x^{3}+3x^{2}+3x, xεIR.
(α). Να βρεθεί η αντίστροφη της
(β). Να εξετάσετε αν g^{-1} είναι παραγωγίσιμη στο x_{0}=-1
(γ). Να αποδείξετε ότι η g^{-1} είναι γνησίως αύξουσα.
(δ). Δίνεται η συνάρτηση f:IR\rightarrow IR τέτοια ώστε:
f(x^{3}+3x^{2}+3x)\leq x\leq f^{3}(x)+3f^{2}(x)+3f(x) γαι κάθε xεIR.
Να βρεθεί ο τύπος της f.


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: ΘΕΜΑ(2)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιαν 07, 2009 12:12 am

Είναι \displaystyle{g\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)^3  - 1} οπότε εύκολα με ορισμό ή παράγωγο η g είναι γνησίως αύξουσα (οπότε και η \displaystyle{g^{ - 1} \left( x \right)} θα είναι γνησίως αύξουσα) συνεπώς 1-1 οπότε αντιστρέψιμη με την γνωστή διαδικασία εύρεσης αντίστροφης έχουμε \displaystyle{g^{ - 1} \left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 
 \sqrt[3]{{x + 1}} - 1,x \ge  - 1 \\  
  - \sqrt[3]{{ - 1 - x}} - 1,x <  - 1 \\  
 \end{array} \right.}
Είναι \displaystyle{\begin{array}{l} 
 g\left( { - 1} \right) =  - 1 \Leftrightarrow g^{ - 1} \left( { - 1} \right) =  - 1 \\  
 \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1^ -  } \frac{{g^{ - 1} \left( x \right) - g^{ - 1} \left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = ... =  + \infty  \\  
 \end{array}} άρα η \displaystyle{{g^{ - 1} \left( x \right)}} δεν είναι παραγωγίσιμη στο -1
δ) η δδοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα \displaystyle{f\left( {g\left( x \right)} \right) \le x \le g\left( {f\left( x \right)} \right)} για κάθε πραγματικό x
επειδή \displaystyle{g^{ - 1} } γνησίως αύξουσα έχουμε \displaystyle{g^{ - 1} \left( x \right) \le f\left( x \right)}
εάν τώρα θέσουμε στην δοσμένη ανισότητα όπου \displaystyle{x = g^{ - 1} \left( x \right)} παίρνουμε \displaystyle{f\left( x \right) \le g^{ - 1} \left( x \right)} συνεπώς δείξαμε ότι \displaystyle{g^{ - 1} \left( x \right) \le f\left( x \right) \le g^{ - 1} \left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g^{ - 1} \left( x \right),\forall x \in R}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης