δύσκολο όριο

Συντονιστές: Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS

kostakos ale
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 4:03 pm

δύσκολο όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostakos ale » Τρί Νοέμ 22, 2011 4:29 pm

Να βρεθεί το όριο

\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{\frac{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}-\alpha}{|{x}|-\alpha}}\,, \ \alpha\in\mathbb{R}

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Μπήκαν τόνοι στις λέξεις, απομακρύνθηκε το συνημμένο και γράφτηκε το κείμενο σε LATEX, όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας.
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Τρί Νοέμ 22, 2011 4:47 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λόγος: Μετατροπή σε LaTeX


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: δύσκολο όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 22, 2011 4:53 pm

kostakos ale έγραψε:Να βρεθεί το όριο

\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{\frac{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}-\alpha}{|{x}|-\alpha}}\,, \ \alpha\in\mathbb{R}
Δεν θα έλεγα ότι είναι δύσκολο όριο. Αντιθέτως υπάρχει παρόμοιο σε όλα τα σχολικά και φροντιστηριακά βιβλία.

Θα δώσω υπόδειξη για να έχεις την ευκαιρία να το επεξεργαστείς μόνος σου.

Πολλαπλασίασε τον αριθμητή και παρονομαστή με την συζυγή παράσταση. Αυτό που θα προκύψει στον αριθμητή παραγοντοποιείται ως (x-a)(x-2a).

M.


kostakos ale
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 4:03 pm

Re: δύσκολο όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostakos ale » Τρί Νοέμ 22, 2011 5:00 pm

Κολλάω σε ένα σημείο. :?


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: δύσκολο όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 22, 2011 5:13 pm

Μικρή ακόμα υπόδειξη:

Διακρίνεις περιπτώσεις a>0, \ a<0, \, a=0. Στην πρώτη περίπτωση εμφανίζεται το \frac {x-a}{x-a}=1. Στην δεύτερη το \frac {x-a}{-x -a}, και λοιπά.

Μ.


kostakos ale
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 4:03 pm

Re: δύσκολο όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostakos ale » Τρί Νοέμ 22, 2011 5:23 pm

Η απόλυτος x όμως μηδενίζεται για όπου x=a. Θα πρέπει να πάρω και πλευρικά;


Edit από Γενικούς Συντονιστές: Διορθώθηκαν, για δεύτερη φορά, τα σύμβολα που δεν είναι σε LATEX, ώστε να είναι το κείμενο συμβατό με τους κανονισμούς του φόρουμ.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: δύσκολο όριο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 22, 2011 5:35 pm

kostakos ale έγραψε:Η απόλυτος x όμως μηδενίζεται για όπου x=a. Θα πρέπει να πάρω και πλευρικά;
Δες την πρώτη περίπτωση που περιγράφω παραπάνω.


kostakos ale
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 4:03 pm

Re: δύσκολο όριο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostakos ale » Τρί Νοέμ 22, 2011 5:39 pm

Α κατάλαβα ευχαριστώ :D


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: δύσκολο όριο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Νοέμ 22, 2011 5:53 pm

κάπως αναλυτικότερα:

\displaystyle{f(x)}={\frac{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}-\alpha}{|{x}|-\alpha}}={\frac{{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}\,}^2-\alpha^2}{({|{x}|-\alpha})\,\bigl({\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}\bigr)}}=

\displaystyle{\frac{x^2-3\alpha{x}+2\alpha^2}{({|{x}|-\alpha})\,\bigl({\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}\bigr)}}={\frac{({x-\alpha})\,({x-2\alpha})}{({|{x}|-\alpha})\,\bigl({\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}\bigr)}},

\alpha\in\mathbb{R} .

i) \ \alpha<0\,, \quad \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{f(x)}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{\frac{({x-\alpha})\,({x-2\alpha})}{({-x-\alpha})\,\bigl({\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}\bigr)}}=
\dfrac{0}{-2\alpha\,\bigl({\sqrt{\alpha^2}+\alpha}\bigr)}=0 .

ii) \ \alpha=0\,,\quad\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{-}}{f(x)}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{-}}{\frac{x}{\sqrt{x^2}}}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{-}}{\frac{x}{|x|}}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{-}}-1=-1 .

\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{+}}{f(x)}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{x}{\sqrt{x^2}}}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{x}{|x|}}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{+}}1=1 .

Άρα το \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0}}{f(x)} δεν υπάρχει.

iii) \ \alpha>0\,,\quad\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{f(x)}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{\frac{x-2\alpha}{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}}=\frac{-\alpha}{\sqrt{\alpha^2}+\alpha}=-\frac{1}{2}\,.\quad\square


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
kostakos ale
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 4:03 pm

Re: δύσκολο όριο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostakos ale » Τρί Νοέμ 22, 2011 5:54 pm

Τι αποτέλεσμα βγαίνει στο τέλος;


kostakos ale
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 4:03 pm

Re: δύσκολο όριο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostakos ale » Τρί Νοέμ 22, 2011 5:56 pm

Ευχαριστώ πάρα πολύ :D


kostakos ale
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 4:03 pm

Re: δύσκολο όριο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostakos ale » Τρί Νοέμ 22, 2011 6:14 pm

Για το όριο όταν το a=0 και το x τείνει στο μηδέν μείον μπορείς να μου εξηγήσεις λίγο τι κάνεις ;


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: δύσκολο όριο

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Νοέμ 22, 2011 6:17 pm

kostakos ale έγραψε:Για το όριο όταν το a=0 και το x τείνει στο μηδέν μείον μπορείς να μου εξηγήσεις λίγο τι κάνεις ;
Tώρα που βρήκες συνονόματο...ταραξέ τον.(στις ερωτήσεις!)


Χρήστος Κυριαζής
kostakos ale
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 4:03 pm

Re: δύσκολο όριο

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostakos ale » Τρί Νοέμ 22, 2011 8:51 pm

Κανείς;


Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: δύσκολο όριο

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Τρί Νοέμ 22, 2011 8:59 pm

Για a=0 είναι :

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\left|x \right|}

διακρίνουμε 2 υποπεριπτώσεις :
-αν το x τείνει στο 0 απο τα αριστερά δηλαδή απο τα αρνητικά είναι:
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{x}{-x}=-1
-αν τείνει στο 0 από τα δεξιά είναι:
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x}{x}=1

άρα δεν υπάρχει το όριο.


Στραγάλης Χρήστος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες