mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 22, 2011 4:29 pm**

Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{\frac{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}-\alpha}{|{x}|-\alpha}}\,, \ \alpha\in\mathbb{R}$

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Μπήκαν τόνοι στις λέξεις, απομακρύνθηκε το συνημμένο και γράφτηκε το κείμενο σε LATEX, όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 22, 2011 4:53 pm**

kostakos ale έγραψε:Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{\frac{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}-\alpha}{|{x}|-\alpha}}\,, \ \alpha\in\mathbb{R}$

Δεν θα έλεγα ότι είναι δύσκολο όριο. Αντιθέτως υπάρχει παρόμοιο σε όλα τα σχολικά και φροντιστηριακά βιβλία.

Θα δώσω υπόδειξη για να έχεις την ευκαιρία να το επεξεργαστείς μόνος σου.

Πολλαπλασίασε τον αριθμητή και παρονομαστή με την συζυγή παράσταση. Αυτό που θα προκύψει στον αριθμητή παραγοντοποιείται ως (x-a)(x-2a)

.

M.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 22, 2011 5:00 pm**

Κολλάω σε ένα σημείο.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 22, 2011 5:13 pm**

Μικρή ακόμα υπόδειξη:

Διακρίνεις περιπτώσεις $a>0, \ a<0, \, a=0$ . Στην πρώτη περίπτωση εμφανίζεται το $\frac {x-a}{x-a}=1$ . Στην δεύτερη το $\frac {x-a}{-x -a}$ , και λοιπά.

Μ.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 22, 2011 5:23 pm**

Η απόλυτος

όμως μηδενίζεται για όπου x=a

. Θα πρέπει να πάρω και πλευρικά;

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Διορθώθηκαν, για δεύτερη φορά, τα σύμβολα που δεν είναι σε LATEX, ώστε να είναι το κείμενο συμβατό με τους κανονισμούς του φόρουμ.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 22, 2011 5:35 pm**

kostakos ale έγραψε:Η απόλυτος όμως μηδενίζεται για όπου . Θα πρέπει να πάρω και πλευρικά;

Δες την πρώτη περίπτωση που περιγράφω παραπάνω.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 22, 2011 5:39 pm**

Α κατάλαβα ευχαριστώ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 22, 2011 5:53 pm**

κάπως αναλυτικότερα:

$\displaystyle{f(x)}={\frac{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}-\alpha}{|{x}|-\alpha}}={\frac{{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}\,}^2-\alpha^2}{({|{x}|-\alpha})\,\bigl({\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}\bigr)}}=$

$\displaystyle{\frac{x^2-3\alpha{x}+2\alpha^2}{({|{x}|-\alpha})\,\bigl({\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}\bigr)}}={\frac{({x-\alpha})\,({x-2\alpha})}{({|{x}|-\alpha})\,\bigl({\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}\bigr)}},$

$\alpha\in\mathbb{R}$ .

$i) \ \alpha<0\,, \quad \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{f(x)}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{\frac{({x-\alpha})\,({x-2\alpha})}{({-x-\alpha})\,\bigl({\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}\bigr)}}=$
$\dfrac{0}{-2\alpha\,\bigl({\sqrt{\alpha^2}+\alpha}\bigr)}=0$ .

$ii) \ \alpha=0\,,\quad\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{-}}{f(x)}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{-}}{\frac{x}{\sqrt{x^2}}}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{-}}{\frac{x}{|x|}}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{-}}-1=-1$ .

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{+}}{f(x)}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{x}{\sqrt{x^2}}}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{x}{|x|}}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{+}}1=1$ .

Άρα το $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0}}{f(x)}$ δεν υπάρχει.

$iii) \ \alpha>0\,,\quad\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{f(x)}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{\frac{x-2\alpha}{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}}=\frac{-\alpha}{\sqrt{\alpha^2}+\alpha}=-\frac{1}{2}\,.\quad\square$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 22, 2011 5:54 pm**

Τι αποτέλεσμα βγαίνει στο τέλος;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 22, 2011 5:56 pm**

Ευχαριστώ πάρα πολύ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 22, 2011 6:14 pm**

Για το όριο όταν το a=0

και το

τείνει στο μηδέν μείον μπορείς να μου εξηγήσεις λίγο τι κάνεις ;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 22, 2011 6:17 pm**

kostakos ale έγραψε:Για το όριο όταν το και το τείνει στο μηδέν μείον μπορείς να μου εξηγήσεις λίγο τι κάνεις ;

Tώρα που βρήκες συνονόματο...ταραξέ τον.(στις ερωτήσεις!)

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 22, 2011 8:51 pm**

Κανείς;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 22, 2011 8:59 pm**

Για

είναι :

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\left|x \right|}$

διακρίνουμε 2 υποπεριπτώσεις :
-αν το

τείνει στο

απο τα αριστερά δηλαδή απο τα αρνητικά είναι:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{x}{-x}=-1$
-αν τείνει στο

από τα δεξιά είναι:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x}{x}=1$

άρα δεν υπάρχει το όριο.

mathematica.gr

δύσκολο όριο

δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο