Μία με συνέχεια ρίζας

Συντονιστές: Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Μία με συνέχεια ρίζας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Ιαν 12, 2009 1:53 pm

'Εστω f μία συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο \mathbb{R} που έχει σύνολο τιμών το \mathbb{R}. Με g(x) συμβολίζουμε την ελάχιστη ρίζα του πολυωνύμου P(t)=t^2+f(x)t+f(x). Δείξτε ότι η g είναι συνεχής.
Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη τι μπορούμε να πούμε για την παραγωγισιμότητα της g;
Μαυρογιάννης

YΓ 14.08 Διόρθωσα τον συντελεστή του t


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μία με συνέχεια ρίζας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιαν 12, 2009 10:30 pm

nsmavrogiannis έγραψε:'Εστω f μία συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο \mathbb{R} που έχει σύνολο τιμών το \mathbb{R}. Με g(x) συμβολίζουμε την ελάχιστη ρίζα του πολυωνύμου P(t)=t^2+f(x)t+f(x). Δείξτε ότι η g είναι συνεχής.
Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη τι μπορούμε να πούμε για την παραγωγισιμότητα της g;
Υποθέτουμε ότι η g ορίζεται στο ευρύτερο δυνατό σύνολο όπου έχει νόημα.
Το Ρ έχει ρίζα αν Δ \ge 0, δηλαδή f(x)(f(x)-4) \ge 0, άρα στο
(-\infty, 0] \bigcup [4, +\infty). Λύνοντας την εξίσωση θα βρούμε ως μικρότερη ρίζα

g(x) = -f(x) - \sqrt{f(x)(f(x)-4)}. Η συνέχεια της g είναι άμεση. Έχουμε παραγωγισιμότητα παντού εκτός ίσως από εκεί που μηδενίζεται η τετραγωνική ρίζα (δηλαδή στα x με f(x)=0 ή f(x)=4), με g^\prime(x) = -f^\prime(x) - \frac{1}{\sqrt{f(x)(f(x)-4)}}(2f(x)-4)f^\prime(x).

Προσοχή όμως (και υποθέτω, Νίκο, ότι γι ' αυτό έβαλες την ωραία αυτή άσκηση) η μη παραγωγισιμότητα μπορεί να αίρεται στα "κακά" σημεία. Τέτοια είναι η περίπτωση της f(x) = 2 + \sqrt{x^2+4} που, μετά τις πράξεις η μηδενιζόμενη ρίζα φεύγει.

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μία με συνέχεια ρίζας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Ιαν 12, 2009 11:38 pm

Η ιδέα για την άσκηση μου ήλθε από ένα γενικότερο θεώρημα που αναφέρεται στην συνέχεια των ριζών μίας αλγεβρικής εξίσωσης όταν οι συντελεστές είναι συνεχείς συναρτήσεις μίας παραμέτρου. Διαπίστωσα, στο παρελθόν, όσο και να φαίνεται παράξενο ότι ικανοί μαθητές δυσκολεύτηκαν να την αντιμέτωπίσουν ακόμα και σε μορφή που προσφέρεται για επίλυση και άμεσο προσδιορισμό της ελάχιστης ρίζας όπως αυτή που παρέθεσα.
Μιχάλη πέτυχες διάνα για τις προθέσεις μου ως προς την παραγωγισιμότητα. Οι μαθητές μετά την επισήμανση ότι οι |x|, \sqrt{x} δεν παραγωγίζονται βάζουν τις \left| h\left( x\right) \right| ,\sqrt{h\left( x\right) } συλήβδην στην καραντίνα. Η φράση κλειδί είναι αυτή που ανέφερες "εκτός ίσως". Ευχαριστώ και για το παράδειγμα.
Αν πειράξουμε λίγο τους συντελεστές έχουμε μία πιό ενδιαφέρουσα περίπτωση:

Η ίδια εκφώνηση αλλά P\left( t\right) =f\left( x\right) t^{2}+t+1


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης