2 ερωτήσεις για τα μαθηματικά κατ. της Γ

Συντονιστές: Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
dimkat
Δημοσιεύσεις: 38
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 12, 2012 1:31 pm
Τοποθεσία: Βουλιαγμένη - Αγία Άννα Ευβοίας

2 ερωτήσεις για τα μαθηματικά κατ. της Γ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimkat » Δευ Μάιος 14, 2012 9:15 pm

Πρώτα θέλω να χαιρετίσω την οικογένεια του :logo: και να τονίσω οτι η προσπάθεια σας αυτή είναι υπέροχη.
Οφείλω να ομολογήσω ότι έχω ''πορωθεί'' και ιδίως το περασμένο ΣΚ ξενύχτησα διαβάζοντας και λύνοντας ασκήσεις, από τις άπειρες που ανακάλυψα στο σάιτ (και είναι και η περίοδος πριν τις εξετάσεις!!)
Θα ήθελα να κάνω 2 ερωτήσεις που αφορούν τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου:
1. Όταν δίνεται ανισότητα της μορφής g\left(x \right)\leq f\left(x \right)\leq h\left(x \right) και \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty,\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,h(x)=+\infty επιτρέπεται να εφαρμόσουμε το κριτήριο παρεμβολής;
Αυτό το ρωτάω γιατί το σχολικό βιβλίο αναφέρει το κριτήριο παρεμβολής στην παράγραφο 1.5, πριν οριστεί η έννοια του μη πεπερασμένου ορίου.
2. Έχω ακούσει από μαθητές μου οτι οι καθηγητές τους επιμένουν οτι σε ασκήσεις εύρεσης ρίζας συνάρτησης, πρέπει μετά την εύρεση του συνόλου τιμών να αναφέρουμε τη συνέχεια της συνάρτησης και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. Δεν είναι πλεονασμός;
Αν το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών δεν θα υπάρχει (απο τον ορισμό του συνόλου τιμών) \chi_{0} ώστε f\left(\chi_{0} \right)=0;


Συγνώμη αν οι ερωτήσεις μου σας φαίνονται ανούσιες ή τυπολατρικές αλλά μιάς και με απασχολούν είπα να τις μοιραστώ μαζι σας εκμεταλλεύομενος την πείρα πιο έμπειρων συναδέλφων.


Δημήτρης Κατούνης
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1711
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: 2 ερωτήσεις για τα μαθηματικά κατ. της Γ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Μάιος 14, 2012 9:47 pm

Για το 1)

1ος τρόπος.

\displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{g(x)}} = 0\,\,(\Sigma \varepsilon \lambda \,178) \\  
 \mathop {\lim }\limits_{x \to a} h(x) =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{h(x)}} = 0\,(\Sigma \varepsilon \lambda \,178) \\  
 \end{array} 
}

Εύλογα φαίνεται ότι οι συναρτήσεις είναι θετικές σε μια περιοχή του a, Άρα:
\displaystyle{ 
g(x) \le f(x) \le h(x) \Leftrightarrow \frac{1}{{h(x)}} \le \frac{1}{{f(x)}} \le \frac{1}{{g(x)}}\,,x \in U(a) 
}
Από το κριτήριο παρεμβολής φαίνεται τώρα:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{1}{{f(x)}} = 0\, \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty  
}
αφού η f είναι θετική σε μια περιοχή a. Πάλι Σελ. 178

2ος τρόπος

Από το Θεώρημα 2 στην σελίδα 166, δεν απαιτείται πουθενά η ύπαρξη πεπερασμένου ορίου, άρα
\displaystyle{ 
g(x) \le f(x) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) \le \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) 
} σε μια περιοχή του a. Εδώ γίνεται (σιωπηρά) διαισθητική υπέρβαση για το επίπεδο της τάξης και καταλήγουμε στο
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty  
}

Στο 2) Εύρεση ή ύπαρξη.

π.χ.1 Έχει ρίζα(ες) η συνάρτηση
\displaystyle{ 
f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 
 \sin x\,,x < 0 \\  
 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \\  
 1 + x,x > 0 \\  
 \end{array} \right. 
}

Απάντηση :
Ναι- Αφού το σύνολο τιμών της είναι \displaystyle{ 
[ - 1, + \infty ) 
}


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
dimkat
Δημοσιεύσεις: 38
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 12, 2012 1:31 pm
Τοποθεσία: Βουλιαγμένη - Αγία Άννα Ευβοίας

Re: 2 ερωτήσεις για τα μαθηματικά κατ. της Γ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimkat » Δευ Μάιος 14, 2012 11:20 pm

Για το 1)
Ο πρώτος τρόπος σου είναι και αυτός που προτείνω στους μαθητές μου σε περίπτωση που έχουν να αντιμετωπίσουν σχετικό θέμα.
Οπότε λες οτι δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε απευθείας κριτήριο παρεμβολής;

Για το 2)
Κοίτα όμως και την επόμενη απάντηση:
Επειδή 0\in\displaystyle{ [ - 1, + \infty ) }, και η f είναι συνεχής, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών συμπεραίνουμε οτι υπάρχει \chi_{0} ώστε f\left(\chi_{0} \right)=0.
Αυτή η διατύπωση δεν είναι πλεοναστική; Ποιός ο λόγος της αναφοράς του Θ.Ε.Τ.; Και το λέω επειδή κάποιοι καθηγητές επιμένουν στη συγκεκριμένη διατύπωση.
Ευχαριστώ για την ενασχόληση.


Δημήτρης Κατούνης
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: 2 ερωτήσεις για τα μαθηματικά κατ. της Γ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Μάιος 14, 2012 11:51 pm

dimkat έγραψε: Για το 2)
Κοίτα όμως και την επόμενη απάντηση:
Επειδή 0\in\displaystyle{ [ - 1, + \infty ) }, και η f είναι συνεχής, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών συμπεραίνουμε οτι υπάρχει \chi_{0} ώστε f\left(\chi_{0} \right)=0.
Αυτή η διατύπωση δεν είναι πλεοναστική; Ποιός ο λόγος της αναφοράς του Θ.Ε.Τ.; Και το λέω επειδή κάποιοι καθηγητές επιμένουν στη συγκεκριμένη διατύπωση.
Κάθε αριθμός που ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι τιμή της \displaystyle{f}. Δεν χρειάζεται καν η \displaystyle{f} να είναι συνεχής. Οπότε και η συνέχεια και το Θ.Ε.Τ. είναι περιττά.

Στο παράδειγμα σου αρκεί το ''αφού 0\in\displaystyle{ f(D_f)=[ - 1, + \infty ) } θα υπάρχει \chi_{0}\in D_f ώστε f\left(\chi_{0} \right)=0''.

Η συνέχεια χρησιμεύει συνήθως σε συνδυασμό με την μονοτονία για την εύρεση των επιμέρους σύνολων τιμών στα διαστήματα μονοτονίας της \displaystyle{f} καθώς και του σύνολου τιμών της \displaystyle{f} γενικότερα.
Αν από την άλλη χρειάζεσαι ακριβές πλήθος ριζών σε κάθε διάστημα μονοτονίας, ελέγχεις εαν η τιμή ανήκει στο εκάστοτε επιμέρους σύνολο τιμών και χρησιμοποιείς την μονοτονία για μοναδικότητα. Ούτε εκεί χρειάζεσαι συνέχεια της \displaystyle{f}.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 2 ερωτήσεις για τα μαθηματικά κατ. της Γ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Μάιος 14, 2012 11:56 pm



Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: 2 ερωτήσεις για τα μαθηματικά κατ. της Γ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Μάιος 15, 2012 12:10 am

Για το 1)
δες επίσης κι εδώ


Άβαταρ μέλους
dimkat
Δημοσιεύσεις: 38
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 12, 2012 1:31 pm
Τοποθεσία: Βουλιαγμένη - Αγία Άννα Ευβοίας

Re: 2 ερωτήσεις για τα μαθηματικά κατ. της Γ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimkat » Τρί Μάιος 15, 2012 1:43 am

Ευχαριστώ πολύ parmenides51 και nsmavrogiannis. Τις παραπομπές σας τις διάβαζα την τελευταία μία ώρα (διάβασα και τις παραπομπές των παραπομπών).
Απ' οτι κατάλαβα το θέμα δεν έχει κλείσει οριστικά και προτιμητέο είναι να μη χρησιμοποιούν οι μαθητές στις εξετάσεις το κριτήριο σύγκρισης, αλλά να ακολουθούν τον πλάγιο δρόμο της αντιστροφής της ανισότητας.


Δημήτρης Κατούνης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης