ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Συντονιστές: Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1018
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Τετ Οκτ 26, 2011 12:50 am

ΘΕΜΑ 1
Για τις διάφορες τιμές του φυσικού k να βρεθεί το όριο \displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)} όπου \displaystyle{f(x)=\frac{{{x}^{k+8}}+2001}{4{{x}^{2k+4}}-{{x}^{12}}+2001}}

ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} με την ιδιότητα \displaystyle{\text{f}(\text{x}+y)=\text{f}(\text{x})\text{ }\sigma \upsilon \nu \text{y}+\text{f}(\text{y})\sigma \upsilon \nu \text{x}} για κάθε \chi ,y\in \mathbb{R} Αν \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(h)}{h}=1, να αποδείξετε ότι :
α. η f είναι συνεχής στο 0,
β. η f είναι συνεχής στο\mathbb{R},
γ. Να βρείτε το \displaystyle{\underset{x\to \pi }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(x)}{x-\pi }} .

ΘΕΜΑ3
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R}_{+}^{*}\to \mathbb{R} με την ιδιότητα \displaystyle{{{\text{f}}^{\text{2}}}(\text{x})\text{ }\text{-1}=\text{2lnxf}(\text{x})~} για κάθεx>0 .
α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{\text{g}(\text{x})\text{ }=\text{f}(\text{x})\text{-lnx}} διατηρεί πρόσημο στο \displaystyle{(0\text{ },+\infty ).}
β. Αν \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(1){{x}^{3}}+x-1}{{{x}^{2}}+x-1}=+\infty, τότε :
i). να βρείτε το f(1).
ii). να βρείτε τον τύπο της f
iii). να υπολογίσετε τα όρια
A=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x), B=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)
Α=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x), Β=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)

ΘΕΜΑ4
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με \displaystyle{\text{f}\left( \text{2} \right)=\text{6}} και
\displaystyle{f\left( x \right)\cdot f\left( f\left( x \right) \right)=12} για x>0 .
α. Να αποδείξετε ότι f(6)=2.
β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει {{x}_{o}}ώστε f(xo)=4.
γ. Να υπολογίσετε το f(4) .
δ. Να βρείτε το πρόσημο της
ε. Αν η f είναι γνησίως μονότονη,
i) Nα βρείτε το είδος της μονοτονίας της f.
ii) Nα βρείτε το τύπο της f.
τελευταία επεξεργασία από Τηλέγραφος Κώστας σε Δευ Δεκ 05, 2011 7:52 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Δεκ 05, 2011 3:31 am



Θωμάς Ποδηματάς
Δημοσιεύσεις: 370
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 9:23 pm
Τοποθεσία: Βόλος Μαγνησίας

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Θωμάς Ποδηματάς » Τρί Δεκ 06, 2011 11:52 am

Μία σκέψη στο ΘΕΜΑ 4

α. Η αρχική για x=2 δίνει αμέσως f(6)=2.
β. Προφανές από ΘΕΤ αφού η f παίρνει όλες τις τιμές ανάμεσα στο 2 και το 6.
γ. Στην αρχική όπου x το x_0 και : f(x_0)f \left(f \left(x_0 \right) \right)=12 ή 4f(4)=12 ή f(4)=3
δ. Από την αρχική είναι φανερό ότι η f δεν μηδενίζεται (αφού αν συνέβαινε κάτι τέτοιο θα είχαμε 0=12 άτοπο), άρα διατηρεί πρόσημο. Επειδή ακόμα f(2)=6>0 θα είναι f(x)>0, \forall x>0.
ε.
i. Αν ήταν γνησίως αύξουσα, θα είχαμε : 2<6 \Rightarrow f(2)<f(6) \Rightarrow 6<2, άτοπο. Δεδομένου ότι είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως φθίνουσα.
ii. Από την αρχική και αφού f(x)>0, \forall x>0,έχουμε : \displaystyle{f \left( f \left(x \right)\right)= \frac{12}{f(x)}}. Θέτοντας τώρα f(x)=t>0 έχουμε τελικά \displaystyle{ f(t)= \frac{12}{t},t>0}.

Ωραίο θέμα !

Στο τελευταίο ερώτημα (εii) δεν είδα να χρειάζεται κάπου η μονοτονία της f... ή έκανα λάθος;;;


Τους Λαιστρυγόνας και τους Κύκλωπας,
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6173
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Δεκ 06, 2011 12:33 pm

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε:Μία σκέψη στο ΘΕΜΑ 4

α. Η αρχική για x=2 δίνει αμέσως f(6)=2.
β. Προφανές από ΘΕΤ αφού η f παίρνει όλες τις τιμές ανάμεσα στο 2 και το 6.
γ. Στην αρχική όπου x το x_0 και : f(x_0)f \left(f \left(x_0 \right) \right)=12 ή 4f(4)=12 ή f(4)=3
δ. Από την αρχική είναι φανερό ότι η f δεν μηδενίζεται (αφού αν συνέβαινε κάτι τέτοιο θα είχαμε 0=12 άτοπο), άρα διατηρεί πρόσημο. Επειδή ακόμα f(2)=6>0 θα είναι f(x)>0, \forall x>0.
ε.
i. Αν ήταν γνησίως αύξουσα, θα είχαμε : 2<6 \Rightarrow f(2)<f(6) \Rightarrow 6<2, άτοπο. Δεδομένου ότι είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως φθίνουσα.
ii. Από την αρχική και αφού f(x)>0, \forall x>0,έχουμε : \displaystyle{f \left( f \left(x \right)\right)= \frac{12}{f(x)}}. Θέτοντας τώρα f(x)=t>0 έχουμε τελικά \displaystyle{ f(t)= \frac{12}{t},t>0}.

Ωραίο θέμα !

Στο τελευταίο ερώτημα (εii) δεν είδα να χρειάζεται κάπου η μονοτονία της f... ή έκανα λάθος;;;
Αυτό που απέδειξες είναι ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι ο \displaystyle{f(x)=\frac{12}{x}} , αλλά μόνο για τα \displaystyle{x} που είναι τιμές της συνάρτησης, δηλαδή για τα \displaystyle{x} για τα οποία υπάρχει \displaystyle{y} ώστε \displaystyle{f(y)=x.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8259
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Δεκ 06, 2011 12:35 pm

Αν δεν γνωρίζαμε πως η f είναι γνησίως μονότονη, τότε μια διαφορετική λύση θα ήταν η \displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 6 & x \in [0,2) \\ 12/x & x \in [2,6] \\ 2 & x \in [6,+\infty) \end{cases}}


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Δεκ 06, 2011 1:53 pm

μια παρόμοια με την εύρεση τύπου στο θέμα 4


Θωμάς Ποδηματάς
Δημοσιεύσεις: 370
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 25, 2011 9:23 pm
Τοποθεσία: Βόλος Μαγνησίας

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Θωμάς Ποδηματάς » Τετ Δεκ 07, 2011 10:48 am

Καλημέρα στην εκλεκτή παρέα του :santalogo:

Σόρρυ για την καθυστερημένη απάντηση, αλλά χτες ήταν γιορτή στο Βόλο και το βράδυ έπαιζε η ομάδα μου... (άτιμοι Γερμανοί!)

Μια προσπάθεια να λύσω το θέμα που ΟΡΘΟΤΑΤΑ επεσήμανε ο Θάνος.

Το πρόβλημα έγκειται στο ότι δεν ξέρουμε ποιες τιμές παίρνει η f. Πράγματι... Θα αποδείξω ότι η f παίρνει όλες τις θετικές τιμές, αφού όπως αποδείξαμε νωρίτερα είναι f(x)>0.

Έστω ένας y_0>0.

Τότε η αρχική για x το f\left(y_0\right) δίνει

f\left(f\left(y_0\right)\right) f\left(  f\left(f\left(y_0\right)\right)\right)=12 (1)

Αλλά από την αρχική έχουμε για x το y_0:

f\left(y_0\right) f\left(f\left(y_0\right)\right)=12 (2)

Από τις (1) και (2) εξισώνοντας τα πρώτα μέλη και αφού είναι f(x)>0, \forall x>0, παίρνουμε

f\left(y_0\right)=f\left(f\left(f\left(y_0\right)\right)\right)

και επειδή είναι γνησίως μονότονη (όλα έχουν τελικά σημασία...)

θα είναι και '1-1', οπότε y_0=f\left( \boxed{f\left(y_0\right)}\right), δηλαδή η συνάρτηση f παίρνει την τυχαία θετική τιμή y_0 στην θέση f\left(y_0\right), δηλαδή το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το \left(0,+ \infty\right). (Οεδ)

Για τον τύπο τώρα της f ο συλλογισμός που έκανα νωρίτερα νομίζω ότι ΤΩΡΑ είναι σωστός.

Μια λίγο διαφορετική προσέγγιση θα ήταν η ακόλουθη :

Με ανάλογους συλλογισμούς, θέτοντας στην αρχική όπου x το f(x) και εξισώνοντας πάλι τα LHS και χρησιμοποιώντας το ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη άρα "1-1", προκύπτει ότι

x=f\left(f\left(x\right)\right) (3).

Αντικαθιστώντας τώρα στην αρχική από την (3), παίρνουμε τελικά ότι :

\displaystyle{f(x)x=12 \Leftrightarrow f(x)=\frac{12}{x},x>0}.

Ευχαριστώ πολύ το Θάνο για την επισήμανση, τον Demetres για τη συνάρτηση τη μη μονότονη...

Ελπίζω ότι είναι ΟΚ τώρα η απόδειξη... Αν πάλι κάτι δεν πάει καλά, ας επισημανθεί.

Θωμάς


Τους Λαιστρυγόνας και τους Κύκλωπας,
τον άγριο Ποσειδώνα δεν θα συναντήσεις,
αν δεν τους κουβανείς μες την ψυχή σου,
αν η ψυχή σου δεν τους στήνει εμπρός σου
(ΙΘΑΚΗ - Κ.Π. ΚΑΒΑΦΗΣ)
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Δεκ 19, 2011 6:19 pm

Μια λύση από το παλιό mathematica
Συνημμένα
335_ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΕ ΤΑ ΠΙΟ SOS+ΛΥΣΕΙΣ_kostas20000gr.pdf
(170.96 KiB) Μεταφορτώθηκε 325 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 1 επισκέπτης