Βρείτε συναρτήσεις
Συντονιστές: m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Βρείτε συναρτήσεις
Κατασκευάστε δύο, τουλάχιστον, συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Βρείτε συναρτήσεις
και . Γενικότερα για . Η απόδειξη άμεση, π.χ. με διακρίνουσα.socrates έγραψε:Κατασκευάστε δύο, τουλάχιστον, συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
Re: Βρείτε συναρτήσεις
Γεια σας κύριε Μιχάλη.
Δεν κατάλαβα πώς θα βγάλω διακρίνουσα.
Μπορείτε να δώσετε μια υπόδειξη ;
Επίσης, πώς σκεφτήκατε ώστε να βρείτε τις ;
Δεν κατάλαβα πώς θα βγάλω διακρίνουσα.
Μπορείτε να δώσετε μια υπόδειξη ;
Επίσης, πώς σκεφτήκατε ώστε να βρείτε τις ;
Παπαπέτρος Ευάγγελος
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Βρείτε συναρτήσεις
Λίγο δύσκολο να μπω στο μυαλό του κ.Λάμπρου αλλά ας προσπαθήσουμε...BAGGP93 έγραψε:Γεια σας κύριε Μιχάλη.
Δεν κατάλαβα πώς θα βγάλω διακρίνουσα.
Μπορείτε να δώσετε μια υπόδειξη ;
Επίσης, πώς σκεφτήκατε ώστε να βρείτε τις ;
Γράφοντας την δοσμένη σχέση ως παρατηρούμε ότι αν η είναι μια γραμμική συνάρτηση τότε και από τα δυο μέρη της ανίσωσης θα προκύψουν δυο δευτεροβάθμια πολυώνυμα. Αν τα φέρουμε όλα στο αριστερό μέλος θα έχουμε μια δευτεροβάθμια πάράσταση η οποία θέλουμε να ισχύει για όλα τα . Επειδή η γραμμική μας συνάρτηση έστω είναι γενικά παραμετρικά δοσμένη, ψάχνουμε τις τιμές των παραμέτρων ωστε να ισχύει η . Αν πάρουμε την απλή περίπτωση νομίζω προκύπτουν τα αποτελέσματα που περιέγραψε ο κ.Λάμπρου.
Re: Βρείτε συναρτήσεις
H συνάρτηση με , δεν ικανοποιεί τη δοθείσα σχέση για κάθε .Mihalis_Lambrou έγραψε:και . Γενικότερα για . Η απόδειξη άμεση, π.χ. με διακρίνουσα.socrates έγραψε:Κατασκευάστε δύο, τουλάχιστον, συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
Με διακρίνουσα μπορούμε να πάρουμε ότι αν , τότε η με ικανοποιεί τη δοθείσα.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Βρείτε συναρτήσεις
Νομίζω ότι οι παρακάτω ικανοποιούν.
, για και , ,για
με και
, για και , ,για
με και
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Βρείτε συναρτήσεις
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:socrates έγραψε:Άλλη μία είναι η Δείξτε το!
Περίπτωση 1: .
Η συνάρτηση με για έχει ελάχιστο για , αφού
Έτσι, είναι
,
κι άρα όπως θέλαμε.
Περίπτωση 2: .
Τότε είναι , αφού είναι ισοδύναμη με την που αληθεύει σε αυτή την περίπτωση. Άρα
Πολ/ντας με και τα δύο μέλη της παραπάνω ανισότητας, κι αφού , παίρνουμε
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Φιλικά,
Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Δευ Ιουν 12, 2017 11:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Βρείτε συναρτήσεις
Λόγω της αρκεί να αποδείξουμε ότιsocrates έγραψε:Επαναφορά!socrates έγραψε:Άλλη μία είναι η Δείξτε το!
Επειδή είναι (προφανές), αρκεί να ισχύει δηλαδή
Πράγματι, είναι
Μάγκος Θάνος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Βρείτε συναρτήσεις
Ωραία λύση, Αχιλλέα!socrates έγραψε:Άλλη μία είναι η Δείξτε το!
Άλλη μια απόδειξη προκύπτει με πρόσθεση των ανισοτήτων:
που ισχύει αφού
και
που ισχύει αφού
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Βρείτε συναρτήσεις
Η δική σας είναι ωραιότερη!socrates έγραψε:Ωραία λύση, Αχιλλέα!socrates έγραψε:Άλλη μία είναι η Δείξτε το!
Άλλη μια απόδειξη προκύπτει με πρόσθεση των ανισοτήτων:
που ισχύει αφού
και
που ισχύει αφού
Μάλιστα, είναι φανερό από την απόδειξη τη δική σου και του Θάνου, ότι ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό , κι όχι μόνο για που ήταν το ζητούμενο.
Βέβαια, εάν ,τότε
Φιλικά,
Αχιλλέας
-
- Δημοσιεύσεις: 43
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2016 2:36 pm
Re: Βρείτε συναρτήσεις
Η ανισότητα έχει πολλές αποδείξεις όπως φαίνεται από τα παραπάνω. Δεν θα είχε λοιπόν ενδιαφέρον να παραθέσω άλλη μια. Όμως είναι ενδιαφέρουσα η αποκάλυψη κάποιων σημείων που νομοτελειακά οδηγούν σε κάποιο προκλητικό ερώτημα.
Ι. και
Η σχέση αυτή είναι ισχυροτέρα της αρχικής και μάλιστα ισχύει
ΙΙ. Από τη σωστή σχέση (που υπάρχει και πιο πάνω) για
Αυτή είναι ακόμη ισχυροτέρα και προφανώς ισχύει και αριστερά του μηδενός. Μ' άλλα λόγια η τελευταία αυτή ισχυρή σχέση δεν είναι αποδεδειγμένη μόνο στο διάστημα από 0 έως 1.
Αβίαστα λοιπόν αναφύεται το ερώτημα : Μήπως η αρχική σχέση μπορεί να ισχυροποιηθεί στη ;
Πιστεύω ότι έχω καταλήξει σ αυτό το συμπέρασμα με μια μακροσκελή απόδειξη την οποία θα θέσω στην κρίση σας τη δευτέρα με την ελπίδα κάποιος πιο τυχερός
να βρει κάτι καλύτερο και να με απαλλάξει από αυτή την υποχρέωση.
Ευχαριστίες σε κάποιους φίλους για τα καλά τους λόγια
ΠΚ.
Ι. και
Η σχέση αυτή είναι ισχυροτέρα της αρχικής και μάλιστα ισχύει
ΙΙ. Από τη σωστή σχέση (που υπάρχει και πιο πάνω) για
Αυτή είναι ακόμη ισχυροτέρα και προφανώς ισχύει και αριστερά του μηδενός. Μ' άλλα λόγια η τελευταία αυτή ισχυρή σχέση δεν είναι αποδεδειγμένη μόνο στο διάστημα από 0 έως 1.
Αβίαστα λοιπόν αναφύεται το ερώτημα : Μήπως η αρχική σχέση μπορεί να ισχυροποιηθεί στη ;
Πιστεύω ότι έχω καταλήξει σ αυτό το συμπέρασμα με μια μακροσκελή απόδειξη την οποία θα θέσω στην κρίση σας τη δευτέρα με την ελπίδα κάποιος πιο τυχερός
να βρει κάτι καλύτερο και να με απαλλάξει από αυτή την υποχρέωση.
Ευχαριστίες σε κάποιους φίλους για τα καλά τους λόγια
ΠΚ.
-
- Δημοσιεύσεις: 43
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2016 2:36 pm
Re: Βρείτε συναρτήσεις
Όπως είπαμε η σχέση πρέπει να αποδειχθεί και στο διάστημα (0,1) για να ισχύει σ όλο το R. Προς τούτο θα δείξουμε ότι η συνάρτηση στο διάστημα (0,1) έχει ελάχιστο μεγαλύτερο του 1.
Φαίνεται ότι η γνωστή σχέση εμπεριέχει σφάλμα πολύ μεγάλο για τη διαφορά τόσο κοντινών συναρτήσεων όπως είναι η με την στο (0,1).
Έτσι χρησιμοποιούμε την με (πολυώνυμο Taylor με υπόλοιπο Lagrange).
Για n=4 είναι οπότε
Επίσης για και n=2 είναι με . Άρα
Η διαφορά είναι θετική οπότε αρκεί το πολυώνυμο που να έχει ελάχιστο μεγαλύτερο του 1 στο (0,1)
Η έχει μόνο μια ρίζα στο (0,1) [/tex] όπως προκύπτει από το Θ. Bolzano. Η μοναδικότητα της ρίζας αυτής θα φανεί στη συνέχεια από το ότι η δεν έχει ρίζα στο (0,1).
Η έχει παράγωγο την που έχει δυο ρίζες τις . Από το πρόσημο του τριωνύμου έχουμε για την την εικόνα, να παρουσιάζει ένα ελάχιστο πάνω στη ρίζα στο (0,1) όπως φαίνεται αμέσως πιο κάτω και μέγιστο στην άλλη. Δηλαδή αριστερά των ριζών είναι γνησίως φθίνουσα, μεταξύ των ριζών γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια γνησίως φθίνουσα.
Είναι εύκολο να επαληθευθεί ότι οπότε έχουμε κατά σειράν:
, , , οπότε
Επειδή η είναι θετική στο (0,1) η ρίζα της στο (0,1) είναι θέση ελαχίστου για την
Με το Θ.Bolzano μπορούμε να δείξουμε ότι η ρίζα αυτή της είναι μεταξύ 0,75 και 0,76.
Τώρα με τον ίδιο τρόπο όπως και λίγο πιο πάνω μπορούμε να βρούμε ότι ο.ε.δ
Να πούμε τέλος ότι απέφυγα να δώσω όλες τις πράξεις οι οποίες γίνονται με απόλυτη ακρίβεια διότι έχουμε πολυώνυμα. Το σχήμα Horner βοηθάει σ αυτή την κατεύθυνση. Ο υπολογιστής απαγορεύεται; Πάντως εξυπηρετεί.
ΠΚ
Φαίνεται ότι η γνωστή σχέση εμπεριέχει σφάλμα πολύ μεγάλο για τη διαφορά τόσο κοντινών συναρτήσεων όπως είναι η με την στο (0,1).
Έτσι χρησιμοποιούμε την με (πολυώνυμο Taylor με υπόλοιπο Lagrange).
Για n=4 είναι οπότε
Επίσης για και n=2 είναι με . Άρα
Η διαφορά είναι θετική οπότε αρκεί το πολυώνυμο που να έχει ελάχιστο μεγαλύτερο του 1 στο (0,1)
Η έχει μόνο μια ρίζα στο (0,1) [/tex] όπως προκύπτει από το Θ. Bolzano. Η μοναδικότητα της ρίζας αυτής θα φανεί στη συνέχεια από το ότι η δεν έχει ρίζα στο (0,1).
Η έχει παράγωγο την που έχει δυο ρίζες τις . Από το πρόσημο του τριωνύμου έχουμε για την την εικόνα, να παρουσιάζει ένα ελάχιστο πάνω στη ρίζα στο (0,1) όπως φαίνεται αμέσως πιο κάτω και μέγιστο στην άλλη. Δηλαδή αριστερά των ριζών είναι γνησίως φθίνουσα, μεταξύ των ριζών γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια γνησίως φθίνουσα.
Είναι εύκολο να επαληθευθεί ότι οπότε έχουμε κατά σειράν:
, , , οπότε
Επειδή η είναι θετική στο (0,1) η ρίζα της στο (0,1) είναι θέση ελαχίστου για την
Με το Θ.Bolzano μπορούμε να δείξουμε ότι η ρίζα αυτή της είναι μεταξύ 0,75 και 0,76.
Τώρα με τον ίδιο τρόπο όπως και λίγο πιο πάνω μπορούμε να βρούμε ότι ο.ε.δ
Να πούμε τέλος ότι απέφυγα να δώσω όλες τις πράξεις οι οποίες γίνονται με απόλυτη ακρίβεια διότι έχουμε πολυώνυμα. Το σχήμα Horner βοηθάει σ αυτή την κατεύθυνση. Ο υπολογιστής απαγορεύεται; Πάντως εξυπηρετεί.
ΠΚ
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης