Εφαπτομένες από κοινό σημειο

sakis1963 · #1

: tangents mathematica.jpg (33.3 KiB) Προβλήθηκε 892 φορές

Έστω $f(x)=2\sqrt{x}$ και g(x)=e^x

.

Από ενα σημείο του άξονα xx' φέρω τις εφαπτόμενες στις f, g

.

Αν τα σημεία επαφής έχουν τετμημένες a, b

δείξτε οτι a+b=1

Altrian · #2

Καλησπέρα,

Εστω $\large -u$ η τετμημένη του τυχαίου σημείου του άξονα $\large xx'$ . Εστω $\large a,b$ οι τετμημένες των εφαπτομένων στις $\large f(x), g(x)$ αντίστοιχα από το τυχαίο αυτό σημείο: Εχουμε ότι:
$\large f'(a)=\frac{f(a)}{a+u}\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a+u}\Rightarrow 2a=a+u\Rightarrow a=u.$
$\large g'(b)=\frac{g(b)}{b+u}\Rightarrow e^{b}=\frac{e^{b}}{b+u}\Rightarrow b+u=1$
Από τις δύο ανωτέρω προκύπτει το ζητούμενο:
$\large a+b=1$

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

Εφαπτομένες από κοινό σημειο

Εφαπτομένες από κοινό σημειο

Re: Εφαπτομένες από κοινό σημειο

Μέλη σε σύνδεση