Υπαρξη ρίζας

Aladdin · #1

Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x) > 1,\forall x \in \mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι η

έχει μοναδική ριζα.

Energy Engineer · #2

Γενίκευση:

Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x) > c,\forall x \in \mathbb{R}$ , όπου c > 0

. Να δείξετε ότι η

έχει μοναδική ριζα.

Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μια ρίζα. Δεδομένου ότι είναι αύξουσα, θα είναι και μοναδική.

Εστω η συνάρτηση $g(x) = c*x, \forall x \in \mathbb{R}$ , όπου c > 0

. Αυτή η συνάρτηση έχει κλίση

και τέμνει τον άξονα των x. Με απλή λογική όποια αύξουσα συνάρτηση έχει μεγαλύτερη από

κλίση και αυτή θα τέμνει τον άξονα x κάπου (δεδομένου ότι είμαστε σε όλο το $\mathbb{R}$ , δηλαδή $\forall x \in \mathbb{R}$ ). Η μόνη ελπίδα να μην τον έτεμνε θα ήταν να είχε μικρότερη κλίση. Δηλαδή όσο θα κινούμαστε από το +άπειρο στο - άπειρο, δεδομένου ότι η g(x)

τέμνει τον άξονα των x, και όλες οι συναρτήσεις που έχουν μόνιμα μεγαλύτερη κλίση από αυτήν, δηλαδή που κατεβαίνουν πιο γρήγορα κάποτε θα συναντήσουν τον άξονα των x.

Κύριοι καθηγητές, θα δεχόσασταν αυτή την απάντηση από έναν μαθητή;

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Aladdin έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 23, 2019 4:29 pm
Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x) > 1,\forall x \in \mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι η έχει μοναδική ριζα.

Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής. Αν δεν έχει ρίζα τότε θα διατηρεί πρόσημο.

Ας πούμε ότι f(x)>0

για κάθε

. Τότε $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=l\geq 0.$

Άρα $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left (f(2x)-f(x) \right )=l-l=0$

και επομένως $\lim_{x\rightarrow -\infty} \dfrac{f(2x)-f(x)}{x}=0$ . Το τελευταίο σημαίνει ότι $\dfrac{f(2x)-f(x)}{x}\leq 1$

σε μια περιοχή $(-\infty,a)$ για κάποιο a<0

. Για τυχών x<a

από το ΘΜΤ στο [2x,x]

έχουμε

ότι υπάρχει $\xi \in (2x,x)$ τέτοιο, ώστε ${f}'(\xi )\leq 1$ (άτοπο). Άρα η

έχει ρίζα η οποία

είναι μοναδική από την μονοτονία. Η απόδειξη είναι παρόμοια αν υποθέσουμε ότι f(x)<0

για κάθε

. Εκεί παίρνουμε

$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l\leq 0$ και λοιπά.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Energy Engineer έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 23, 2019 5:12 pm
Γενίκευση:

Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x) > c,\forall x \in \mathbb{R}$ , όπου . Να δείξετε ότι η έχει μοναδική ριζα.

Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μια ρίζα. Δεδομένου ότι είναι αύξουσα, θα είναι και μοναδική.

Εστω η συνάρτηση $g(x) = c*x, \forall x \in \mathbb{R}$ , όπου . Αυτή η συνάρτηση έχει κλίση και τέμνει τον άξονα των x. Με απλή λογική όποια αύξουσα συνάρτηση έχει μεγαλύτερη από κλίση και αυτή θα τέμνει τον άξονα x κάπου (δεδομένου ότι είμαστε σε όλο το $\mathbb{R}$ , δηλαδή $\forall x \in \mathbb{R}$ ). Η μόνη ελπίδα να μην τον έτεμνε θα ήταν να είχε μικρότερη κλίση. Δηλαδή όσο θα κινούμαστε από το +άπειρο στο - άπειρο, δεδομένου ότι η τέμνει τον άξονα των x, και όλες οι συναρτήσεις που έχουν μόνιμα μεγαλύτερη κλίση από αυτήν, δηλαδή που κατεβαίνουν πιο γρήγορα κάποτε θα συναντήσουν τον άξονα των x.

Κύριοι καθηγητές, θα δεχόσασταν αυτή την απάντηση από έναν μαθητή;

Πάνω σε αυτό το σκεπτικό η απόδειξη πάει ως εξής:

H f(x)-x

είναι γνησίως αύξουσα αφού $\left ( f(x)-x \right )'={f}'(x)-1>0$ . Άρα για x>0

είναι

$f(x)-x>f(0)-0\Rightarrow f(x)>x+f(0)$ και παίρνοντας όριο στο $+\infty$ έχουμε

$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ . Για x<0

είναι $f(x)-x<f(0)-0\Rightarrow f(x)<x+f(0)$

και παίρνοντας όριο στο $-\infty$ έχουμε $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ . Η συνέχεια τώρα μας

εξασφαλίζει τη ρίζα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 23, 2019 7:55 pm

Energy Engineer έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 23, 2019 5:12 pm
Γενίκευση:

Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x) > c,\forall x \in \mathbb{R}$ , όπου . Να δείξετε ότι η έχει μοναδική ριζα.

Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μια ρίζα. Δεδομένου ότι είναι αύξουσα, θα είναι και μοναδική.

Εστω η συνάρτηση $g(x) = c*x, \forall x \in \mathbb{R}$ , όπου . Αυτή η συνάρτηση έχει κλίση και τέμνει τον άξονα των x. Με απλή λογική όποια αύξουσα συνάρτηση έχει μεγαλύτερη από κλίση και αυτή θα τέμνει τον άξονα x κάπου (δεδομένου ότι είμαστε σε όλο το $\mathbb{R}$ , δηλαδή $\forall x \in \mathbb{R}$ ). Η μόνη ελπίδα να μην τον έτεμνε θα ήταν να είχε μικρότερη κλίση. Δηλαδή όσο θα κινούμαστε από το +άπειρο στο - άπειρο, δεδομένου ότι η τέμνει τον άξονα των x, και όλες οι συναρτήσεις που έχουν μόνιμα μεγαλύτερη κλίση από αυτήν, δηλαδή που κατεβαίνουν πιο γρήγορα κάποτε θα συναντήσουν τον άξονα των x.

Κύριοι καθηγητές, θα δεχόσασταν αυτή την απάντηση από έναν μαθητή;
Πάνω σε αυτό το σκεπτικό η απόδειξη πάει ως εξής:

H είναι γνησίως αύξουσα αφού $\left ( f(x)-x \right )'={f}'(x)-1>0$ . Άρα για είναι

$f(x)-x>f(0)-0\Rightarrow f(x)>x+f(0)$ και παίρνοντας όριο στο $+\infty$ έχουμε

$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ . Για είναι $f(x)-x<f(0)-0\Rightarrow f(x)<x+f(0)$

και παίρνοντας όριο στο $-\infty$ έχουμε $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ . Η συνέχεια τώρα μας

εξασφαλίζει τη ρίζα.

Μπορούμε να πάμε και λίγο παρακάτω.

Δηλαδή να δείξουμε ότι η ρίζα βρίσκεται στο

διάστημα

[-|f(0)|,|f(0)|]

Αν

δεν έχουμε να δείξουμε τίποτα.

Αν f(0)<0

τότε από την σχέση (αντιγραφή από τον Λάμπρο)

$x>0\Rightarrow f(x)>x+f(0)$

Εχουμε $f(|f(0)|)>|f(0)|+f(0)\geq 0$

Από Bolzano εχει ρίζα στο [0,|f(0)|]

Αν

τότε από την

$x<0\Rightarrow f(x)<x+f(0)$

εχουμε $f(-|f(0)|)<-|f(0)|+f(0)\leq 0$

Από Bolzano εχει ρίζα στο [-|f(0)|,0]

Τελικά δείξαμε ότι η ρίζα βρίσκεται στο [-|f(0)|,|f(0)|]

.

Αν

οπου

με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι η ρίζα βρίσκεται στο

$[-\frac{|f(0)|}{c},\frac{|f(0)|}{c}]$

Υπαρξη ρίζας

Υπαρξη ρίζας

Re: Υπαρξη ρίζας

Re: Υπαρξη ρίζας

Re: Υπαρξη ρίζας

Re: Υπαρξη ρίζας

Μέλη σε σύνδεση