Υπαρξη ρίζας
Συντονιστές: m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου
Υπαρξη ρίζας
Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με . Να δείξετε ότι η έχει μοναδική ριζα.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 101
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 02, 2010 9:05 pm
- Τοποθεσία: Γερμανία
Re: Υπαρξη ρίζας
Γενίκευση:
Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με , όπου . Να δείξετε ότι η έχει μοναδική ριζα.
Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μια ρίζα. Δεδομένου ότι είναι αύξουσα, θα είναι και μοναδική.
Εστω η συνάρτηση , όπου . Αυτή η συνάρτηση έχει κλίση και τέμνει τον άξονα των x. Με απλή λογική όποια αύξουσα συνάρτηση έχει μεγαλύτερη από κλίση και αυτή θα τέμνει τον άξονα x κάπου (δεδομένου ότι είμαστε σε όλο το , δηλαδή ). Η μόνη ελπίδα να μην τον έτεμνε θα ήταν να είχε μικρότερη κλίση. Δηλαδή όσο θα κινούμαστε από το +άπειρο στο - άπειρο, δεδομένου ότι η τέμνει τον άξονα των x, και όλες οι συναρτήσεις που έχουν μόνιμα μεγαλύτερη κλίση από αυτήν, δηλαδή που κατεβαίνουν πιο γρήγορα κάποτε θα συναντήσουν τον άξονα των x.
Κύριοι καθηγητές, θα δεχόσασταν αυτή την απάντηση από έναν μαθητή;
Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με , όπου . Να δείξετε ότι η έχει μοναδική ριζα.
Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μια ρίζα. Δεδομένου ότι είναι αύξουσα, θα είναι και μοναδική.
Εστω η συνάρτηση , όπου . Αυτή η συνάρτηση έχει κλίση και τέμνει τον άξονα των x. Με απλή λογική όποια αύξουσα συνάρτηση έχει μεγαλύτερη από κλίση και αυτή θα τέμνει τον άξονα x κάπου (δεδομένου ότι είμαστε σε όλο το , δηλαδή ). Η μόνη ελπίδα να μην τον έτεμνε θα ήταν να είχε μικρότερη κλίση. Δηλαδή όσο θα κινούμαστε από το +άπειρο στο - άπειρο, δεδομένου ότι η τέμνει τον άξονα των x, και όλες οι συναρτήσεις που έχουν μόνιμα μεγαλύτερη κλίση από αυτήν, δηλαδή που κατεβαίνουν πιο γρήγορα κάποτε θα συναντήσουν τον άξονα των x.
Κύριοι καθηγητές, θα δεχόσασταν αυτή την απάντηση από έναν μαθητή;
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Υπαρξη ρίζας
Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής. Αν δεν έχει ρίζα τότε θα διατηρεί πρόσημο.
Ας πούμε ότι για κάθε . Τότε
Άρα
και επομένως . Το τελευταίο σημαίνει ότι
σε μια περιοχή για κάποιο . Για τυχών από το ΘΜΤ στο έχουμε
ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε (άτοπο). Άρα η έχει ρίζα η οποία
είναι μοναδική από την μονοτονία. Η απόδειξη είναι παρόμοια αν υποθέσουμε ότι για κάθε . Εκεί παίρνουμε
και λοιπά.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Υπαρξη ρίζας
Πάνω σε αυτό το σκεπτικό η απόδειξη πάει ως εξής:Energy Engineer έγραψε: ↑Πέμ Μάιος 23, 2019 5:12 pmΓενίκευση:
Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με , όπου . Να δείξετε ότι η έχει μοναδική ριζα.
Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μια ρίζα. Δεδομένου ότι είναι αύξουσα, θα είναι και μοναδική.
Εστω η συνάρτηση , όπου . Αυτή η συνάρτηση έχει κλίση και τέμνει τον άξονα των x. Με απλή λογική όποια αύξουσα συνάρτηση έχει μεγαλύτερη από κλίση και αυτή θα τέμνει τον άξονα x κάπου (δεδομένου ότι είμαστε σε όλο το , δηλαδή ). Η μόνη ελπίδα να μην τον έτεμνε θα ήταν να είχε μικρότερη κλίση. Δηλαδή όσο θα κινούμαστε από το +άπειρο στο - άπειρο, δεδομένου ότι η τέμνει τον άξονα των x, και όλες οι συναρτήσεις που έχουν μόνιμα μεγαλύτερη κλίση από αυτήν, δηλαδή που κατεβαίνουν πιο γρήγορα κάποτε θα συναντήσουν τον άξονα των x.
Κύριοι καθηγητές, θα δεχόσασταν αυτή την απάντηση από έναν μαθητή;
H είναι γνησίως αύξουσα αφού . Άρα για είναι
και παίρνοντας όριο στο έχουμε
. Για είναι
και παίρνοντας όριο στο έχουμε . Η συνέχεια τώρα μας
εξασφαλίζει τη ρίζα.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Υπαρξη ρίζας
Μπορούμε να πάμε και λίγο παρακάτω.Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Πέμ Μάιος 23, 2019 7:55 pmΠάνω σε αυτό το σκεπτικό η απόδειξη πάει ως εξής:Energy Engineer έγραψε: ↑Πέμ Μάιος 23, 2019 5:12 pmΓενίκευση:
Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με , όπου . Να δείξετε ότι η έχει μοναδική ριζα.
Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μια ρίζα. Δεδομένου ότι είναι αύξουσα, θα είναι και μοναδική.
Εστω η συνάρτηση , όπου . Αυτή η συνάρτηση έχει κλίση και τέμνει τον άξονα των x. Με απλή λογική όποια αύξουσα συνάρτηση έχει μεγαλύτερη από κλίση και αυτή θα τέμνει τον άξονα x κάπου (δεδομένου ότι είμαστε σε όλο το , δηλαδή ). Η μόνη ελπίδα να μην τον έτεμνε θα ήταν να είχε μικρότερη κλίση. Δηλαδή όσο θα κινούμαστε από το +άπειρο στο - άπειρο, δεδομένου ότι η τέμνει τον άξονα των x, και όλες οι συναρτήσεις που έχουν μόνιμα μεγαλύτερη κλίση από αυτήν, δηλαδή που κατεβαίνουν πιο γρήγορα κάποτε θα συναντήσουν τον άξονα των x.
Κύριοι καθηγητές, θα δεχόσασταν αυτή την απάντηση από έναν μαθητή;
H είναι γνησίως αύξουσα αφού . Άρα για είναι
και παίρνοντας όριο στο έχουμε
. Για είναι
και παίρνοντας όριο στο έχουμε . Η συνέχεια τώρα μας
εξασφαλίζει τη ρίζα.
Δηλαδή να δείξουμε ότι η ρίζα βρίσκεται στο
διάστημα
Αν δεν έχουμε να δείξουμε τίποτα.
Αν τότε από την σχέση (αντιγραφή από τον Λάμπρο)
Εχουμε
Από Bolzano εχει ρίζα στο
Αν τότε από την
εχουμε
Από Bolzano εχει ρίζα στο
Τελικά δείξαμε ότι η ρίζα βρίσκεται στο .
Αν οπου με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι η ρίζα βρίσκεται στο
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες