Κυρτότητα ευθείας

Συντονιστές: Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS

panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 80
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Κυρτότητα ευθείας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Δευ Ιουν 17, 2019 2:49 pm

Καλησπέρα σας και χρόνια πολλά για την ημέρα. Έχω μία απορία. Ορίζεται η κυρτότητα της ευθείας y=ax+b αφού αυτή έχει μηδενική δεύτερη παράγωγο?



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6172
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Κυρτότητα ευθείας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Ιουν 17, 2019 4:04 pm

Ναι, αλλά όχι σύμφωνα με τον σχολικό ορισμό. Σύμφωνα με τον γενικό ορισμό της κυρτότητας, η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη.


Μάγκος Θάνος
stranger
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Κυρτότητα ευθείας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Ιούλ 29, 2019 3:11 pm

Ο αληθινός ορισμός της κυρτότητας είναι
f(tx +(1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y) για κάθε  t \in [0,1] και x,y στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, το οποίο έχει τη δομή ενός γραμμικού χώρου.
Αν αντιστρέψουμε την ανισότητα έχουμε τον ορισμό της κοιλότητας.
Σε μια ευθεία ισχύει η ισότητα όποτε ισχύουν και οι δυο ανισότητες,το οποίο σημαίνει ότι μια ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κυρτότητα ευθείας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Ιούλ 29, 2019 5:03 pm

Πραγματική ερώτηση καλού μαθητή, που απλά το θέτω εδώ:
... Άρα κάθε σημείο της ευθείας μπορεί να θεωρηθεί και σημείο καμπής της; ....


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
stranger
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Κυρτότητα ευθείας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Ιούλ 29, 2019 5:17 pm

Ναι κάθε σημείο της ευθείας είναι σημείο καμπής.
Αυτό γιατί το σημείο καμπής ορίζεται να είναι το σημείο που αλλάζει από κυρτή σε κοίλη η το ανάποδο.
Αφού η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη,κάθε σημείο είναι και σημείο καμπής.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2638
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυρτότητα ευθείας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιούλ 29, 2019 7:28 pm

stranger έγραψε:
Δευ Ιούλ 29, 2019 5:17 pm
Ναι κάθε σημείο της ευθείας είναι σημείο καμπής.
Αυτό γιατί το σημείο καμπής ορίζεται να είναι το σημείο που αλλάζει από κυρτή σε κοίλη η το ανάποδο.
Αφού η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη,κάθε σημείο είναι και σημείο καμπής.
Δεν νομίζω ότι αυτός είναι ο ορισμός του σημείου καμπής.(inflection point)

Δεν έχει να κάνει γενικά με κυρτότητα.

Εχει να κάνει με επίπεδες καμπύλες.

Αν δεν κάνω λάθος ο ορισμός είναι:

Ένα σημείο μιας επίπεδης καμπύλης είναι σημείο καμπής αν σε αυτό το σημείο
αλλάζει πρόσημο η καμπυλότητα.

Αρα για μια καμπύλη που είναι γράφημα μιας συνάρτησης ο ορισμός
συμπιπτει με τον ορισμό του σχολικού.


stranger
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Κυρτότητα ευθείας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Ιούλ 29, 2019 8:21 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Ιούλ 29, 2019 7:28 pm
stranger έγραψε:
Δευ Ιούλ 29, 2019 5:17 pm
Ναι κάθε σημείο της ευθείας είναι σημείο καμπής.
Αυτό γιατί το σημείο καμπής ορίζεται να είναι το σημείο που αλλάζει από κυρτή σε κοίλη η το ανάποδο.
Αφού η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη,κάθε σημείο είναι και σημείο καμπής.
Δεν νομίζω ότι αυτός είναι ο ορισμός του σημείου καμπής.(inflection point)

Δεν έχει να κάνει γενικά με κυρτότητα.

Εχει να κάνει με επίπεδες καμπύλες.

Αν δεν κάνω λάθος ο ορισμός είναι:

Ένα σημείο μιας επίπεδης καμπύλης είναι σημείο καμπής αν σε αυτό το σημείο
αλλάζει πρόσημο η καμπυλότητα.

Αρα για μια καμπύλη που είναι γράφημα μιας συνάρτησης ο ορισμός
συμπιπτει με τον ορισμό του σχολικού.
Δεν το γνώριζα το συγκεκριμένο.Θα το ψάξω.
Αν συμπιπτουν οι δυο ορισμοί στην περίπτωση που έχουμε γράφημα πραγματικής συναρτησης όπως λες,τότε κάθε σημείο μιας ευθείας είναι πράγματι σημείο καμπής της(από το παραπάνω μου post).
Επίσης να διορθώσω κάτι που έγραψα παραπάνω.
Δεν χρειάζεται το πεδίο ορισμού της συναρτησης να είναι γραμμικός χώρος.Για να μιλήσουμε για κυρτότητα πρέπει να έχουμε ένα κυρτό υποσύνολο ενός γραμμικού χώρου σαν πεδίο ορισμού.
Στη περίπτωση του συνόλου των πραγματικών τα κυρτα υποσύνολα του είναι ακριβώς τα διαστήματα.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2638
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυρτότητα ευθείας

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιούλ 29, 2019 8:31 pm

stranger έγραψε:
Δευ Ιούλ 29, 2019 8:21 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Ιούλ 29, 2019 7:28 pm
stranger έγραψε:
Δευ Ιούλ 29, 2019 5:17 pm
Ναι κάθε σημείο της ευθείας είναι σημείο καμπής.
Αυτό γιατί το σημείο καμπής ορίζεται να είναι το σημείο που αλλάζει από κυρτή σε κοίλη η το ανάποδο.
Αφού η ευθεία είναι και κυρτή και κοίλη,κάθε σημείο είναι και σημείο καμπής.
Δεν νομίζω ότι αυτός είναι ο ορισμός του σημείου καμπής.(inflection point)

Δεν έχει να κάνει γενικά με κυρτότητα.

Εχει να κάνει με επίπεδες καμπύλες.

Αν δεν κάνω λάθος ο ορισμός είναι:

Ένα σημείο μιας επίπεδης καμπύλης είναι σημείο καμπής αν σε αυτό το σημείο
αλλάζει πρόσημο η καμπυλότητα.

Αρα για μια καμπύλη που είναι γράφημα μιας συνάρτησης ο ορισμός
συμπιπτει με τον ορισμό του σχολικού.
Δεν το γνώριζα το συγκεκριμένο.Θα το ψάξω.
Αν συμπιπτουν οι δυο ορισμοί στην περίπτωση που έχουμε γράφημα πραγματικής συναρτησης όπως λες,τότε κάθε σημείο μιας ευθείας είναι πράγματι σημείο καμπής της(από το παραπάνω μου post).
Επίσης να διορθώσω κάτι που έγραψα παραπάνω.
Δεν χρειάζεται το πεδίο ορισμού της συναρτησης να είναι γραμμικός χώρος.Για να μιλήσουμε για κυρτότητα πρέπει να έχουμε ένα κυρτό υποσύνολο ενός γραμμικού χώρου σαν πεδίο ορισμού.
Στη περίπτωση του συνόλου των πραγματικών τα κυρτα υποσύνολα του είναι ακριβώς τα διαστήματα.
Η ευθεία έχει καμπυλότητα 0 και τα σημεία της δεν είναι σημεία καμπής.

Ο ορισμός του σχολικού για κυρτές είναι για αυτές που λέμε στα κανονικά Μαθηματικά
γνήσιες κυρτές.
Εσυ από ότι βλέπω γνωρίζεις τους ορισμούς των κανονικών Μαθηματικών
που σε αρκετές περιπτώσεις δεν είναι ίδιοι με τα σχολικά Μαθηματικά.
Κοίταξε το.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 983
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κυρτότητα ευθείας

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Ιούλ 29, 2019 8:36 pm

Στον ανήσυχο μαθητή θα μπορούσαμε δώσουμε και άλλον έναν ορισμό της κυρτής συνάρτησης, που κάνει την ευθεία κυρτή συνάρτηση και θα του είναι πιο κοντά στην κατανόηση της έννοιας, λόγω του είδη γνωστού του ορισμού του κυρτού σχήματος στην γεωμετρία.

Σε κάθε συνάρτηση μιας μεταβλητής y=f(x), στην οποία επιτρέπουμε και τιμές στο άπειρο (δηλαδή με πεδίο ορισμού το \mathbb{R}), αντιστοιχείται στο επίπεδο (E^2) με συντεταγμένες \left ( x, y \right ) το σύνολο epi f = \{ \left ( x,y \right) \in E^2  , y \geq f(x) \}, το οποίο ονομάζεται επιγράφημα της συνάρτησης f.

Ορισμός: Η συνάρτηση το επιγράφημα της οποίας είναι κυρτό σύνολο, ονομάζεται κυρτή.

Και γιατί όχι, με ένα δυο ορισμούς ακόμη, να μην εισάγουμε και μερικά όμορφα θεωρήματα (στην περίπτωση μια μεταβλητής), όπως το θεώρημα δυϊκότητας του Fenchel , θεώρημα Fenchel-Moreau


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης