Απόδειξη μονοτονίας συνάρτησης

Συντονιστές: Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS

ekechagi
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Παρ Ιουν 28, 2019 1:42 pm

Απόδειξη μονοτονίας συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ekechagi » Παρ Ιουν 28, 2019 7:45 pm

Καλησπέρα στην κοινότητα.
Θα ήθελα τις απόψεις σας σχετικά με την παρακάτω απόδειξη του Α3, αν και κατά πόσο αυτή μπορεί να ληφθεί ως σωστή.
μαθ.png
μαθ.png (33.9 KiB) Προβλήθηκε 684 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1693
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Απόδειξη μονοτονίας συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Ιουν 28, 2019 9:52 pm

Πως μπορεί να εξασφαλιστεί από την ανάπτυξη της παραπάνω απάντησης ότι ενδεχομένως υπάρχουν x_3,x_4: x_3<x_4 όπου  f(x_3)>f(x_4) χωρίς όμως να ορίζεται διάστημα που η f να έχει την ιδιότητα της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης. Δηλαδή πως εξασφαλίσαμε από την παραπάνω απόδειξη ότι η άρνηση του ισχυρισμού συνεπάγεται διάστημα .


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Απόδειξη μονοτονίας συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιουν 28, 2019 10:53 pm

Ο ισχυρισμός είναι λάθος.

Υπάρχει παραγωγίσημη συνάρτηση που δεν είναι μονότονη
σε κανένα υποδιάστημα του πεδίου ορισμού της.
Στο παρακάτω θα δείτε την κατασκευή της.

https://stuff.mit.edu/afs/athena/contri ... uiggly.pdf

Προφανώς είναι εκτός φακέλλου αλλά δεν υπάρχει από όσο
γνωρίζω απλό παράδειγμα.

Αυτά μέχρι το σημείο που είναι γραμμένο το

''Αφου ,λοιπόν ,δεν μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα η σταθερή,θα είναι γνησίως αύξουσα''

Το τελευταίο μπάζει ακόμα και για Γ Λυκείου.


ekechagi
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Παρ Ιουν 28, 2019 1:42 pm

Re: Απόδειξη μονοτονίας συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ekechagi » Σάβ Ιουν 29, 2019 9:28 am

Christos.N έγραψε:
Παρ Ιουν 28, 2019 9:52 pm
Πως μπορεί να εξασφαλιστεί από την ανάπτυξη της παραπάνω απάντησης ότι ενδεχομένως υπάρχουν x_3,x_4: x_3<x_4 όπου  f(x_3)>f(x_4) χωρίς όμως να ορίζεται διάστημα που η f να έχει την ιδιότητα της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης. Δηλαδή πως εξασφαλίσαμε από την παραπάνω απόδειξη ότι η άρνηση του ισχυρισμού συνεπάγεται διάστημα .
Εάν για x_3,x_4: x_3<x_4 ισχύει  f(x_3)>f(x_4) , τότε από το Θ.Μ.Τ. θα προκύψει αρνητική παράγωγος, το οποίο είναι εκ θεωρήσεως αδύνατο.
Σε επίπεδο Γ' Λυκείου διδάσκεται ότι η συνάρτηση μπορεί να έχει 3+1 καταστάσεις:
α) Σταθερή
β) Γνησίως αύξουσα
γ) Γνησίως φθίνουσα
δ) Συνδυασμό των παραπάνω

Με τη θεώρηση ότι τα οποιαδήποτε χ που θέτουν το υποδιάστημα ορισμού διαφέρουν αρκετά λίγο μεταξύ τους (κατά τον τρόπο που ορίζεται και το ακρότατο συνάρτησης), μπορεί η συνάρτηση να σπάσει σε αρκετά μικρά διαστήματα, όπου δεν θα ισχύει η συνθήκη δ). Αφού, λοιπόν, αποδεικνύεται ότι για οποιοδήποτε υποδιάστημα η f δεν είναι σταθερή και φθίνουσα, θα πρέπει αυτή να είναι αύξουσα σε κάθε υποδιάστημα και, άρα, σε όλο το πεδίο ορισμού της.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2792
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Απόδειξη μονοτονίας συνάρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Ιουν 29, 2019 9:44 am

ekechagi έγραψε:
Σάβ Ιουν 29, 2019 9:28 am
...Σε επίπεδο Γ' Λυκείου διδάσκεται ότι η συνάρτηση μπορεί να έχει 3+1 καταστάσεις:
α) Σταθερή
β) Γνησίως αύξουσα
γ) Γνησίως φθίνουσα
δ) Συνδυασμό των παραπάνω...
Ούτε σε επίπεδο Γ' λυκείου δεν είναι δυνατόν να διδάσκεται το παραπάνω, αφού δεν είναι αληθές. (το παράδειγμα συνάρτησης που δίνει παραπάνω ο Σταύρος ξεκαθαρίζει πλήρως το θέμα).
Άλλωστε και στο επίπεδο Γ' λυκείου αυτό που ισχύει αναφέρεται σε κάποιο θεώρημα (ή συνδυασμούς θεωρημάτων). Και θεώρημα για τις 3+1 καταστάσεις, προφανώς, δεν υπάρχει.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Απόδειξη μονοτονίας συνάρτησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιουν 29, 2019 9:50 am

grigkost έγραψε:
Σάβ Ιουν 29, 2019 9:44 am
ekechagi έγραψε:
Σάβ Ιουν 29, 2019 9:28 am
...Σε επίπεδο Γ' Λυκείου διδάσκεται ότι η συνάρτηση μπορεί να έχει 3+1 καταστάσεις:
α) Σταθερή
β) Γνησίως αύξουσα
γ) Γνησίως φθίνουσα
δ) Συνδυασμό των παραπάνω...
Ούτε σε επίπεδο Γ' λυκείου δεν είναι δυνατόν να διδάσκεται το παραπάνω, αφού δεν είναι αληθές. (το παράδειγμα συνάρτησης που δίνει παραπάνω ο Σταύρος ξεκαθαρίζει πλήρως το θέμα).
Άλλωστε και στο επίπεδο Γ' λυκείου αυτό που ισχύει αναφέρεται σε κάποιο θεώρημα (ή συνδυασμούς θεωρημάτων). Και θεώρημα για τις 3+1 καταστάσεις, προφανώς, δεν υπάρχει.
Να σημειώσω ότι στο σχολικό σελ 174 άσκηση 10 ορίζεται η συνάρτηση
με

f(0)=0
f(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x},x\neq 0.

Για αυτήν δεν ισχύουν τα παραπάνω


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1400
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Απόδειξη μονοτονίας συνάρτησης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Κυρ Ιουν 30, 2019 1:04 am

Και το απλούστερο των επιχειρημάτων.
Αν γνωρίζει κάποιος την απόδειξη της πρότασης "αν η f έχει αρνητική παράγωγο στο Δ, τότε είναι γνησίως φθίνουσα", ας την παρουσιάσει.
Μόνο μην αναφέρει ότι "γνωρίζω ότι αν η f έχει θετική παράγωγο στο Δ, τότε είναι γνησίως αύξουσα". :roll:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11485
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απόδειξη μονοτονίας συνάρτησης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 30, 2019 1:31 am

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Κυρ Ιουν 30, 2019 1:04 am
Και το απλούστερο των επιχειρημάτων.
Αν γνωρίζει κάποιος την απόδειξη της πρότασης "αν η f έχει αρνητική παράγωγο στο Δ, τότε είναι γνησίως φθίνουσα", ας την παρουσιάσει.
Μόνο μην αναφέρει ότι "γνωρίζω ότι αν η f έχει θετική παράγωγο στο Δ, τότε είναι γνησίως αύξουσα". :roll:
Ανδρέα, αυτό ζητάς;

Αν a<b τότε για κάποιο \xi μεταξύ τους είναι

f(a)= \dfrac {f(a)-f(b)}{a-b}(a-b)+f(b) = f'(\xi)(a-b)+f(b)= (arnitiko)\times (arnitiko) + f(b)=

=(thetiko) + f(b) > f(b)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης