π και e

Συντονιστές: KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS

Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 429
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

π και e

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Μαρ 27, 2020 3:39 am

Να συγκρίνετε τους αριθμούς e^{\pi} και \pi^e.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Ερευνητής Μαθηματικός, PhD

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4684
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: π και e

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Μαρ 27, 2020 4:02 am

stranger έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 3:39 am
Να συγκρίνετε τους αριθμούς e^{\pi} και \pi^e.
Για όσους ξενυχτάνε ( καλή ώρα σα και μένα , αφού δεν έχω να κάνω τίποτα καλύτερο μιας και όλη μέρα ξεκουράζομαι ) λοιπόν. Έχουμε και λέμε:


Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=\frac{x}{\ln x} η οποία είναι διαφορίσιμη στο (1, +\infty) με παράγωγο f'(x)=\frac{\ln x -1 }{\ln^2 x}. Για x=e η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο ( ολικό ελάχιστο ) . Στο [e , +\infty) η f είναι γνήσια αύξουσα οπότε f(e)< f(\pi) . Συνεπώς,

\displaystyle{\begin{aligned} 
f(e)< f(\pi) &\Leftrightarrow  \frac{e}{\ln e} < \frac{\pi}{\ln \pi} \\  
 &\Leftrightarrow e \ln \pi < \pi \ln e \\  
 &\Leftrightarrow \ln \pi^e < \ln e^\pi \\ 
 &\Leftrightarrow \pi^e < e^\pi 
\end{aligned}}
Υ.Σ: Μπορούμε να δουλέψουμε και με τη x^{1/x}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 429
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: π και e

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Μαρ 27, 2020 4:10 am

:10sta10:


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Ερευνητής Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13583
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: π και e

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μαρ 27, 2020 7:48 am

stranger έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 3:39 am
Να συγκρίνετε τους αριθμούς e^{\pi} και \pi^e.
H άσκηση είχε πέσει στον ΑΣΕΠ πριν μερικά χρόνια. Υπάρχουν πολλές λύσεις από τις οποίες ίσως η ευκολότερη είναι η παρακάτω, μέσω της ανισότητας e^x> 1+x για x>0. Συγκεκριμένα, παίρνοντας x= \dfrac {\pi}{e} -1 έχουμε

\displaystyle{e^{ \pi /e -1} >  \dfrac {\pi}{e} }. Υψώνοντας στην e έχουμε \displaystyle{ e^{ \pi- e} > \left( \dfrac {\pi}{e} \right ) ^e} που πολλαπλασιάζοντας επί e^e δίνει \displaystyle{e^{\pi} > \pi ^ e.}


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2292
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: π και e

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Μαρ 30, 2020 6:42 pm

\displaystyle{\frac{lne}{e}-\frac{ln\pi }{\pi}=(e-\pi )\frac{1-lnu}{u^2}>0,e<u<\pi} άρα \displaystyle{\pi lne>e ln \pi } η \displaystyle{e^{\pi }>\pi ^e }c


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1065
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: π και e

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Παρ Απρ 03, 2020 12:34 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 7:48 am
stranger έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 3:39 am
Να συγκρίνετε τους αριθμούς e^{\pi} και \pi^e.
H άσκηση είχε πέσει στον ΑΣΕΠ πριν μερικά χρόνια.
Η άσκηση ήταν θέμα του ΑΣΕΠ Μαθηματικών του 2000. Ο Μιχάλης ξύπνησε κάποιες αναμνήσεις...
Η συγκεκριμένη άσκηση ήταν μία από τις οκτώ ασκήσεις που τέθηκαν.
Για αυτές τις οκτώ ασκήσεις δεν ακούστηκε λέξη τότε...
Ούτε ασάφειες είχαν , ούτε παραλείψεις...


AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1115
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: π και e

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Παρ Απρ 03, 2020 1:24 pm

Ακριβώς ΑΣΕΠ 2000 την είχα αντιμετωπίσει. Την είχα βρεί στο δρόμο μου και παλιότερα, σε εξετάσεις για εισαγωγή στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα του Μαθηματικού Ηρακλείου το 1985.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης