Με αφορμή το Θεώρημα του Flett
Συντονιστές: m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Με αφορμή το Θεώρημα του Flett
Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα , και οι παράγωγοι αριθμοί στα δύο άκρα του διαστήματος είναι και οι δύο μεγαλύτεροι (η μικρότεροι) της κλίσης που ορίζεται από τα σημεία και της , τότε υπάρχει τέτοιο ώστε .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
η οποία είναι συνεχής στο (άρα έχει ελάχιστη τιμή) και παρ/μη στο .
Από την εκφώνηση . Αυτό σημαίνει ότι το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λαμβάνεται σίγουρα στο .
Ακόμη άρα από εκφώνηση πάλι.
Άρα από τον ορισμό της παραγώγου υπάρχει διάστημα κοντά στο ώστε γνησίως αύξουσα άρα σε αυτό το διάστημα οπότε το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λαμβάνεται σίγουρα ούτε στο . Άρα έχουμε ελάχιστο της σε κάποιο εσωτερικό σημείο του και από Fermat προκύπτει:
που δίνει τη ζητούμενη.
η οποία είναι συνεχής στο (άρα έχει ελάχιστη τιμή) και παρ/μη στο .
Από την εκφώνηση . Αυτό σημαίνει ότι το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λαμβάνεται σίγουρα στο .
Ακόμη άρα από εκφώνηση πάλι.
Άρα από τον ορισμό της παραγώγου υπάρχει διάστημα κοντά στο ώστε γνησίως αύξουσα άρα σε αυτό το διάστημα οπότε το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λαμβάνεται σίγουρα ούτε στο . Άρα έχουμε ελάχιστο της σε κάποιο εσωτερικό σημείο του και από Fermat προκύπτει:
που δίνει τη ζητούμενη.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett
Καλό.AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑Τετ Απρ 01, 2020 11:10 pmΑν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα , και οι παράγωγοι αριθμοί στα δύο άκρα του διαστήματος είναι και οι δύο μεγαλύτεροι (η μικρότεροι) της κλίσης που ορίζεται από τα σημεία και της , τότε υπάρχει τέτοιο ώστε .
Έστω και (όμοια για την ανάποδη ανισότητα). Θέτουμε
οπότε .
Από ΘΜΤ υπάρχει με
και επίσης
.
Από Darboux υπάρχει ανάμεσα στα και με . Άρα , που ισοδυναμεί με το ζητούμενο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett
Είναι απίστευτο που η προηγούμενη άσκηση είναι αναρτημένη μία μέρα αλλά εστάλησαν δύο λύσεις με διαφορά ούτε ενός λεπτού.
Από κάτω γράφω μία δεύτερη λύση με χρήση του Θεωρήματος Flett.
Για όσους δεν γνωρίζουν, το Θεώρημα Flett είναι το ίδιο με την άσκηση αλλά με την επιπλέον συνθήκη . Με άλλα λόγια η άσκηση του Ανδρέα μας λέει ότι η συνθήκη αυτή στο Θεώρημα Flett είναι περιττή. Με εντυπωσίασε αλλά το παρακάτω ερμηνεύει καλύτερα γιατί αληθεύει η γενίκευση.
Αν δεν έχουμε τίποτα να αποδείξουμε, αφού ισχύει το Flett. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι .
Από ΘΜΤ υπάρχει με . Δηλαδή έχουμε . Από Darboux υπάρχει (και άρα ) με . Τώρα από το (κανονικό) Flett στο υπάρχει όπως το ζητάει η άσκηση.
Όμοια οι άλλες περιπτώσεις.
Από κάτω γράφω μία δεύτερη λύση με χρήση του Θεωρήματος Flett.
Για όσους δεν γνωρίζουν, το Θεώρημα Flett είναι το ίδιο με την άσκηση αλλά με την επιπλέον συνθήκη . Με άλλα λόγια η άσκηση του Ανδρέα μας λέει ότι η συνθήκη αυτή στο Θεώρημα Flett είναι περιττή. Με εντυπωσίασε αλλά το παρακάτω ερμηνεύει καλύτερα γιατί αληθεύει η γενίκευση.
Αν δεν έχουμε τίποτα να αποδείξουμε, αφού ισχύει το Flett. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι .
Από ΘΜΤ υπάρχει με . Δηλαδή έχουμε . Από Darboux υπάρχει (και άρα ) με . Τώρα από το (κανονικό) Flett στο υπάρχει όπως το ζητάει η άσκηση.
Όμοια οι άλλες περιπτώσεις.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett
harrisp έγραψε: ↑Πέμ Απρ 02, 2020 9:38 pmΘεωρούμε τη συνάρτηση:
η οποία είναι συνεχής στο (άρα έχει ελάχιστη τιμή) και παρ/μη στο .
Από την εκφώνηση .(δεν υπάρχει πρόβλημα αν είναι ) Αυτό σημαίνει ότι το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λαμβάνεται σίγουρα στο . Αυτό σημαίνει ότι αν το ελάχιστο λαμβάνεται στο τότε θα λαμβάνεται και στο
Ακόμη άρα από εκφώνηση πάλι.
Άρα από τον ορισμό της παραγώγου υπάρχει διάστημα κοντά στο ώστε να ισχύει σε αυτό το διάστημα οπότε το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λαμβάνεται σίγουρα ούτε στο . Άρα έχουμε ελάχιστο της σε κάποιο εσωτερικό σημείο του και από Fermat προκύπτει:
που δίνει τη ζητούμενη.
Δεν είναι σωστό.Απαιτείται η συνέχεια της παραγώγου.Το ότι κοντά στο είναι σωστό οπότε δεν χαλάει η απόδειξη.
Με μπλε το διόρθωσα σε αυτά που έγραψε ο harrisp.
Επίσης μπορούμε να έχουμε στην υπόθεση αντί της
την
Τα πέρασα με μπλε στο κείμενο του harrisp.
Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett
Έχετε δίκιο, ευχαριστώ για τη διόρθωση. Στο μυαλό μου σκεφτόμουν τον ορισμό του ορίου και έκανα λογικό άλμα στη λύση με τη μονοτονία για να μη χρειαστεί να γράψω το όριο αλλά την πάτησα.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Απρ 02, 2020 11:08 pmharrisp έγραψε: ↑Πέμ Απρ 02, 2020 9:38 pmΘεωρούμε τη συνάρτηση:
η οποία είναι συνεχής στο (άρα έχει ελάχιστη τιμή) και παρ/μη στο .
Από την εκφώνηση .(δεν υπάρχει πρόβλημα αν είναι ) Αυτό σημαίνει ότι το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λαμβάνεται σίγουρα στο . Αυτό σημαίνει ότι αν το ελάχιστο λαμβάνεται στο τότε θα λαμβάνεται και στο
Ακόμη άρα από εκφώνηση πάλι.
Άρα από τον ορισμό της παραγώγου υπάρχει διάστημα κοντά στο ώστε να ισχύει σε αυτό το διάστημα οπότε το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λαμβάνεται σίγουρα ούτε στο . Άρα έχουμε ελάχιστο της σε κάποιο εσωτερικό σημείο του και από Fermat προκύπτει:
που δίνει τη ζητούμενη.Δεν είναι σωστό.Απαιτείται η συνέχεια της παραγώγου.Το ότι κοντά στο είναι σωστό οπότε δεν χαλάει η απόδειξη.
Με μπλε το διόρθωσα σε αυτά που έγραψε ο harrisp.
Επίσης μπορούμε να έχουμε στην υπόθεση αντί της
την
Τα πέρασα με μπλε στο κείμενο του harrisp.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett
Αφού ευχαριστήσω τούς καλούς φίλους Χάρη, Μιχάλη και Σταύρο για την άμεση ανταπόκριση και τις καίριες παρεμβάσεις τους, να περιγράψω με ποιες άλλες ασκήσεις που πιστεύω μπορούν να γίνουν σε μία τάξη την έχω συνδέσει.
1) Αν μία παραγωγίσιμη στο συνάρτηση έχει θετική παράγωγο στο η αντίστοιχα αρνητική στο , τότε το αντίστοιχο σημείο είναι θέση τοπικού ελαχίστου (ενώ αν είναι αντίστροφα, είναι θέση μεγίστου). Αυτό προκύπτει άμεσα από τον ορισμό της παραγώγου.
2) Αν μία παραγωγίσιμη στο συνάρτηση έχει στο παράγωγο μεγαλύτερη από την κλίση της χορδής τότε υπάρχει σημείο κοντά στο που βρίσκεται πάνω από τη χορδή. Όμοια, αν έχει και στο παράγωγο μεγαλύτερη από την κλίση της χορδής, υπάρχει σημείο κοντά στο που βρίσκεται κάτω από τη χορδή. Έτσι με θεώρημα , αποδεικνύεται ότι το γράφημα της συνάρτησης τέμνει τη χορδή τουλάχιστον σε ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματός μας.
3) Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με και τότε υπάρχει εφαπτομένη της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Γενικότερα, για κάθε παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, υπάρχει εφαπτομένη της που διέρχεται από ένα σημείο της ευθείας του οποίου η τετμημένη δεν ανήκει στο . Προφανώς η παραγωγισιμότητα στα άκρα δεν είναι απαραίτητη (εφαρμογή Θ. σε κατάλληλη συνάρτηση).
Έτσι μπορούμε να αποδείξουμε το Θεώρημα του σε συνδυασμό των 2 και 3, καθώς και τη γενίκευση που διατύπωσα.
Εύχομαι σε όλους καλή δύναμη και να βγούμε το συντομότερο δυνατόν από την πρωτόγνωρα δύσκολη κατάσταση που βιώνουμε.
Έκανα κάποιες διορθώσεις στις προϋποθέσεις του 3) ( είχα ξεχάσει το ) που μου επισήμανε ο Σταύρος τον οποίο ευχαριστώ.
1) Αν μία παραγωγίσιμη στο συνάρτηση έχει θετική παράγωγο στο η αντίστοιχα αρνητική στο , τότε το αντίστοιχο σημείο είναι θέση τοπικού ελαχίστου (ενώ αν είναι αντίστροφα, είναι θέση μεγίστου). Αυτό προκύπτει άμεσα από τον ορισμό της παραγώγου.
2) Αν μία παραγωγίσιμη στο συνάρτηση έχει στο παράγωγο μεγαλύτερη από την κλίση της χορδής τότε υπάρχει σημείο κοντά στο που βρίσκεται πάνω από τη χορδή. Όμοια, αν έχει και στο παράγωγο μεγαλύτερη από την κλίση της χορδής, υπάρχει σημείο κοντά στο που βρίσκεται κάτω από τη χορδή. Έτσι με θεώρημα , αποδεικνύεται ότι το γράφημα της συνάρτησης τέμνει τη χορδή τουλάχιστον σε ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματός μας.
3) Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με και τότε υπάρχει εφαπτομένη της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Γενικότερα, για κάθε παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, υπάρχει εφαπτομένη της που διέρχεται από ένα σημείο της ευθείας του οποίου η τετμημένη δεν ανήκει στο . Προφανώς η παραγωγισιμότητα στα άκρα δεν είναι απαραίτητη (εφαρμογή Θ. σε κατάλληλη συνάρτηση).
Έτσι μπορούμε να αποδείξουμε το Θεώρημα του σε συνδυασμό των 2 και 3, καθώς και τη γενίκευση που διατύπωσα.
Εύχομαι σε όλους καλή δύναμη και να βγούμε το συντομότερο δυνατόν από την πρωτόγνωρα δύσκολη κατάσταση που βιώνουμε.
Έκανα κάποιες διορθώσεις στις προϋποθέσεις του 3) ( είχα ξεχάσει το ) που μου επισήμανε ο Σταύρος τον οποίο ευχαριστώ.
τελευταία επεξεργασία από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ σε Σάβ Απρ 04, 2020 12:44 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett
Γεια σου Αντρέα.AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 03, 2020 12:33 am3) Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με τότε υπάρχει εφαπτομένη της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
.
Φυσικά το είναι τυπογραφικό.
Μήπως υπάρχει και άλλο;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett
Σταύρο σε ευχαριστώ, το διόρθωσα, Ελπίζω να μην έχω άλλο.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 03, 2020 2:14 pmΓεια σου Αντρέα.AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 03, 2020 12:33 am3) Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με τότε υπάρχει εφαπτομένη της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
.
Φυσικά το είναι τυπογραφικό.
Μήπως υπάρχει και άλλο;
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett
Γεια σου Ανδρέα.AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 03, 2020 9:38 pmΣταύρο σε ευχαριστώ, το διόρθωσα, Ελπίζω να μην έχω άλλο.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 03, 2020 2:14 pmΓεια σου Αντρέα.AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 03, 2020 12:33 am3) Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με τότε υπάρχει εφαπτομένη της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
.
Φυσικά το είναι τυπογραφικό.
Μήπως υπάρχει και άλλο;
Με μόνο αυτές τις προυποθέσεις δεν ισχύει.
Δεν νομίζω ότι χρειάζεται να βάλω παράδειγμα.
Υποθέτω ότι έχεις και άλλες προυποθέσεις που τις ξέχασες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Με αφορμή το Θεώρημα του Flett
Έχεις δίκιο Σταύρο ξέχασα τοΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 03, 2020 10:17 pmΓεια σου Ανδρέα.AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 03, 2020 9:38 pmΣταύρο σε ευχαριστώ, το διόρθωσα, Ελπίζω να μην έχω άλλο.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 03, 2020 2:14 pmΓεια σου Αντρέα.AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 03, 2020 12:33 am3) Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με τότε υπάρχει εφαπτομένη της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
.
Φυσικά το είναι τυπογραφικό.
Μήπως υπάρχει και άλλο;
Με μόνο αυτές τις προυποθέσεις δεν ισχύει.
Δεν νομίζω ότι χρειάζεται να βάλω παράδειγμα.
Υποθέτω ότι έχεις και άλλες προυποθέσεις που τις ξέχασες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες