Ασκηση

Math124 · #1

Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ με $f(x)=\frac{2g(x)}{{g^2(x)+1}}$
όπου g παραγωγισιμη με θετικη παραγωγό στο $\mathbb{R}$ και σύνολο τιμών το R.Αν g(0)=-1,g(2)=1

Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και αν επιπλέον g(1)=1/2 , g(3)=2

να λύσετε την ανισωση
5f^2(x)-9f(x)+4<0

Μπορεί κάποιος να βοηθησει;

Christos.N · #2

Είναι πολλά που μπορούμε να κάνουμε

Ας δοκιμάσεις την "αποσύνθεση" π.χ. η $h(x)=\dfrac{2x}{x^2+1},~x\in\mathbb{R}$ τι σύνολο τιμών έχει; Η σύνθεση τώρα $h\circ g$ ;

Math124 · #3

Christos.N έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 15, 2020 4:11 pm
Είναι πολλά που μπορούμε να κάνουμε

Ας δοκιμάσεις την "αποσύνθεση" π.χ. η $h(x)=\dfrac{2x}{x^2+1},~x\in\mathbb{R}$ τι σύνολο τιμών έχει; Η σύνθεση τώρα $h\circ g$ ;

Το έκανα αλλιως και βρήκα f(A)=[-1,1]

αλλά δεν είμαι σίγουρος γιατι πιο πάνω κατέληξα στην εξίσωση |g(x)|=1

και μετά είπα g(x)=1

ή

...Αυτό ισχυει;

Και αν μπορείτε πως λύνεται το 2ο ερωτημα;

Christos.N · #4

Math124 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 15, 2020 4:24 pm

Christos.N έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 15, 2020 4:11 pm
Είναι πολλά που μπορούμε να κάνουμε

Ας δοκιμάσεις την "αποσύνθεση" π.χ. η $h(x)=\dfrac{2x}{x^2+1},~x\in\mathbb{R}$ τι σύνολο τιμών έχει; Η σύνθεση τώρα $h\circ g$ ;
Το έκανα αλλιως και βρήκα f(A)=[-1,1]αλλά δεν είμαι σίγουρος γιατι πιο πάνω κατέληξα στην εξίσωση |g(x)|=1 και μετά είπα g(x)=1 ή g(x)=-1...Αυτό ισχυει;

Και αν μπορείτε πως λύνεται το 2ο ερωτημα;

Μόνο αν διορθώσεις και γράψεις σε $\rm{\LaTeX}}$

Math124 · #5

Christos.N έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 15, 2020 4:35 pm

Math124 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 15, 2020 4:24 pm

Christos.N έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 15, 2020 4:11 pm
Είναι πολλά που μπορούμε να κάνουμε

Ας δοκιμάσεις την "αποσύνθεση" π.χ. η $h(x)=\dfrac{2x}{x^2+1},~x\in\mathbb{R}$ τι σύνολο τιμών έχει; Η σύνθεση τώρα $h\circ g$ ;
Το έκανα αλλιως και βρήκα f(A)=[-1,1]αλλά δεν είμαι σίγουρος γιατι πιο πάνω κατέληξα στην εξίσωση |g(x)|=1 και μετά είπα g(x)=1 ή g(x)=-1...Αυτό ισχυει;

Και αν μπορείτε πως λύνεται το 2ο ερωτημα;
Μόνο αν διορθώσεις και γράψεις σε $\rm{\LaTeX}}$

Το διορθωσα ..Δεν το εκανα πριν επειδη το κινητό μου κολλάει και δεν μπορούσα να το ανοίξω το latex πριν
Αν μπορείτε βοηθείστε με με την ασκηση

Christos.N · #6

Το σκεπτικό της στηρίζεται σε αυτό το σχήμα

: DeepinScreenshot_Επιλέξτε περιοχή_20200515165505.png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 2564 φορές

Math124 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 15, 2020 4:24 pm

αλλά δεν είμαι σίγουρος γιατι πιο πάνω κατέληξα στην εξίσωση
και μετά είπα
ή
...Αυτό ισχυει;

Δεν μπορώ να καταλάβω τι σε οδήγησε στα παραπάνω, σκέψου -αναφορικά με το 2ο ερώτημα- ότι για εκείνα τα $x\in A_f$ που αληθεύει η ανίσωση 5f^2(x)-9f(x)+4<0

ισοδύναμα αληθεύει και η 5y^2-9y+4<0,f(x)=y

Math124 · #7

Christos.N έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 15, 2020 5:04 pm
Το σκεπτικό της στηρίζεται σε αυτό το σχήμα

DeepinScreenshot_Επιλέξτε περιοχή_20200515165505.png

Math124 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 15, 2020 4:24 pm

αλλά δεν είμαι σίγουρος γιατι πιο πάνω κατέληξα στην εξίσωση
και μετά είπα
ή
...Αυτό ισχυει;
Δεν μπορώ να καταλάβω τι σε οδήγησε στα παραπάνω, σκέψου -αναφορικά με το 2ο ερώτημα- ότι για εκείνα τα $x\in A_f$ που αληθεύει η ανίσωση ισοδύναμα αληθεύει και η

Η αλήθεια είναι στην αρχή και εγώ έθεσα f(x)=y αλλά σκέφτηκα μήπως δεν ισχύει...αλλά εντάξει τότε...όσον αφορά το 1ο ερώτημα το f(A)=[-1,1]

;

Christos.N · #8

Για να έχουμε μια πλήρη απάντηση βασισμένη σε σχολικό επίπεδο (που δεν ανοίγει συζητήσεις)

θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση $h(x)=5f^2(x)-9f(x)+4,~x \in \mathbb{R}$ τότε $h(x)=0 \Leftrightarrow |f(x)-\frac{9}{10}|=\frac{1}{10}$

Η εξίσωση $f(x)-\frac{9}{10}=0$ με την σειρά της αποδεικνύεται ότι έχει δύο θετικές ρίζες x_1,x_2

εκατέρωθεν του

, επιπλέον απο την μονοτονία της

βγάζουμε συμπέρασμα ότι $f(x)-\frac{9}{10}\ge 0$ όταν $x\in[x_1,x_2]$ και $f(x)-\frac{9}{10}<0$ όταν $x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)$ .

Απο τα παραπάνω προκύπτουν τα εξής:

όταν $x\in[x_1,x_2]$ τότε $|f(x)-\frac{9}{10}|=\frac{1}{10} \Leftrightarrow f(x)=1 \Leftrightarrow x= 2$

όταν $x\in[x_1,x_2]$ τότε $|f(x)-\frac{9}{10}|=\frac{1}{10} \Leftrightarrow f(x)=\frac{4}{5} \Leftrightarrow x=1 ~~\eta'~~ x=3$

Δηλαδή δείξαμε ότι η

έχει τρείς ρίζες άρα στα διαστήματα που ορίζουν στην πραγματική ευθεία διατηρεί πρόσημο.

Συμπεράσματα θα εξάγουμε απο τις τιμές $\displaystyle{h(0)>0,~h(x_1)<0,~h(x_2)<0,~\underset{x\to+\infty}{lim}h(x)=4>0}$

Εμείς θέλουμε τα διαστήματα που είναι αρνητική

άρα $x \in(1,2)\cup(2,3)$

Math124 · #9

Christos.N έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 15, 2020 6:15 pm
Για να έχουμε μια πλήρη απάντηση βασισμένη σε σχολικό επίπεδο (που δεν ανοίγει συζητήσεις)

θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση $h(x)=5f^2(x)-9f(x)+4,~x \in \mathbb{R}$ τότε $h(x)=0 \Leftrightarrow |f(x)-\frac{9}{10}|=\frac{1}{10}$

Η εξίσωση $f(x)-\frac{9}{10}=0$ με την σειρά της αποδεικνύεται ότι έχει δύο θετικές ρίζες εκατέρωθεν του , επιπλέον απο την μονοτονία της βγάζουμε συμπέρασμα ότι $f(x)-\frac{9}{10}\ge 0$ όταν $x\in[x_1,x_2]$ και $f(x)-\frac{9}{10}<0$ όταν $x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)$ .

Απο τα παραπάνω προκύπτουν τα εξής:

όταν $x\in[x_1,x_2]$ τότε $|f(x)-\frac{9}{10}|=\frac{1}{10} \Leftrightarrow f(x)=1 \Leftrightarrow x= 2$

όταν $x\in[x_1,x_2]$ τότε $|f(x)-\frac{9}{10}|=\frac{1}{10} \Leftrightarrow f(x)=\frac{4}{5} \Leftrightarrow x=1 ~~\eta'~~ x=3$

Δηλαδή δείξαμε ότι η έχει τρείς ρίζες άρα στα διαστήματα που ορίζουν στην πραγματική ευθεία διατηρεί πρόσημο.

Συμπεράσματα θα εξάγουμε απο τις τιμές $\displaystyle{h(0)>0,~h(x_1)<0,~h(x_2)<0,~\underset{x\to+\infty}{lim}h(x)=4>0}$

Εμείς θέλουμε τα διαστήματα που είναι αρνητική

άρα $x \in(1,2)\cup(2,3)$

Ευχαριστώ πολυ

Christos.N · #10

Math124 έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 15, 2020 10:32 pm

Ευχαριστώ πολυ

Παρακαλώ, ωστόσο θα ήθελα να παρατηρήσεις ότι πάρα τον κόπο της πληκτρολόγησης και το ότι η απάντηση μου δεν μου αποφέρει κάποιο όφελος εν τέλει, ανταποκρίθηκα στην επιθυμία και ανάγκη σου σεβόμενος παράλληλα τους κανόνες του χώρου αυτού. Για αυτό θα σε παρακαλέσω να γράφεις σε $\rm{\LaTeX}}$ πάντοτε.

Ασκηση

Ασκηση

Re: Ασκηση

Re: Ασκηση

Re: Ασκηση

Re: Ασκηση

Re: Ασκηση

Re: Ασκηση

Re: Ασκηση

Re: Ασκηση

Re: Ασκηση

Μέλη σε σύνδεση