fog

efi19 · #1

Αν ορίζεται η fog τότε η f υπάρχει μόνο όταν η g είναι 1-1;

Summand · #2

Νομίζω έχεις μπερδευτεί. Τι σημαίνει υπάρχει η

;
Για να ορίζεται η f(g(x))

πρέπει να ορίζεται η f(x)

για κάποια $x\in g(D_g)$ , όπου g(D_g)

το σύνολο τιμών της g(x)

.

Αυτό που μάλλον θες να ρωτήσεις είναι: αν σου δίνεται ο τύπος της f(g(x))

και της

,
πρέπει απαραίτητα η g(x)

να είναι

για να βρεις τον τύπο της

;

Η απάντηση είναι όχι, ένα απλό αντιπαράδειγμα είναι η συνάρτηση f(g(x))=x^6

με $g(x)=x^2, x\in \mathbb{R}$ .
Προφανώς βλέπουμε ότι $\displaystyle{f(x^2)=(x^2)^3}$ και προφανώς εύκολα συμπεραίνουμε $\displaystyle{f(x)=x^3}$ .

Δυο ερωτήσεις για να σιγουρευτείς ότι το έχεις καταλάβει:

Για ποια ισχύει ότι ;
Μπορεί η να είναι κάποια άλλη συνάρτηση;

Ελπίζω να σε βοήθησα! Οι απαντήσεις από κάτω.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

efi19 · #3

Έχετε δίκιο, αυτό ακριβώς εννοούσα.
Το θέμα είναι ότι όταν μας δίνονται η (fog)(x)

και η

και ψάχνουμε την f(x)

στη μεθοδολογία θέτουμε g(x)=u

και λύνουμε ως προς

ουσιαστικά βρίσκουμε την $g^{-1}(x)$ . Δηλαδή:

Αν $f(g(x))=h(x) \Leftrightarrow \ f(g(g^{-1}(x)))=h(g^{-1}(x)) \Leftrightarrow \ f(x)=h(g^{-1}(x))$ οπότε για να ορίζεται η $g^{-1}(x)$ πρέπει η g(x)

να είναι 1-1.

Νομίζω ότι αν g^2(x)=h(x)

τότε δεν ισχύει $g(x)=\pm \sqrt{h(x)}$ εφόσον έχουμε να κάνουμε με συναρτήσεις.

Summand · #4

Αν και λίγο αργοπορημένα, γιατί χάθηκε μέσα στις ειδοποιήσεις.

Η πρόταση - κλειδί είναι αυτή εδώ:

efi19 έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 02, 2022 8:23 pm
για να ορίζεται η $g^{-1}(x)$ πρέπει η να είναι 1-1

Αυτό που λες είναι ολόσωστο. Γιατί όμως να ορίζεται απαραίτητα η $g^{-1}(x)$ ; Σου έδωσα ένα παράδειγμα όπου η

δεν είναι 1-1 και όλα δουλεύουν κανονικά.

efi19 έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 02, 2022 8:23 pm
Το θέμα είναι ότι όταν μας δίνονται η και η και ψάχνουμε την στη μεθοδολογία θέτουμε και λύνουμε ως προς ουσιαστικά βρίσκουμε την $g^{-1}(x)$ .

Μην κολλάς στη μεθοδολογία. Η συγκεκριμένη ιδέα καλύπτει τις περιπτώσεις όπου υπάρχει η αντίστροφη, δεν θα υπάρχει όμως πάντα.

efi19 έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 02, 2022 8:23 pm
Νομίζω ότι αν τότε δεν ισχύει $\pm \sqrt{h(x)}$ εφόσον έχουμε να κάνουμε με συναρτήσεις.

Έχεις δίκιο. Αν παρατηρήσεις όμως δεν σου μιλάω για αντίστροφη συνάρτηση, ακριβώς για αυτόν το λόγο, γιατί π.χ. για το $x_1=+\sqrt{y_1}$ ενώ για το $x_2=-\sqrt{y_2}$ . Σε κάθε σημείο όμως αναγκαστικά θα παίρνω είτε το

είτε το

της συνάρτησης, υψώνοντας στο τετράγωνο δίνουν έτσι κι αλλιώς το ίδιο, γι' αυτό παρέλειψα τις λεπτομέρειες. Ουσιαστικά για κάθε τιμή του

η

μπορεί να παίρνει (αν δεν υπάρχουν άλλοι περιορισμοί) μια από τις δύο τιμές $\pm \sqrt{h(x)}$ , όχι απαραίτητα με το ίδιο πρόσημο για κάθε

.

Εννοείται λάθη γίνονται, οπότε αν έχω κάνει καμιά πατάτα μου στέλνεις ένα μήνυμα να το διορθώσω.

Χαιρετώ

fog

fog

Re: fog

Re: fog

Re: fog

Μέλη σε σύνδεση