συνάρτηση ''1-1''

Συντονιστές: Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

συνάρτηση ''1-1''

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Δεκ 26, 2008 9:19 pm

Καλησπέρα σε όλους!Μια εξαιρετικά ''πονηρή'' (και οχι τόσο τεχνική) είναι κατά την ταπεινή μου γνώμη,η εξής άσκηση:

Να ορίσετε τον a\neq 0 ,ώστε η συνάρτηση f:\mathbb R \to \mathbb R ,με f(x)=x^2+2ax-1 αν x\leq 0 και
f(x)=ax-1 ,αν x>0 ,να είναι''1-1''.
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τετ Μάιος 09, 2012 11:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: LaTeX


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: συνάρτηση ''1-1''

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Παρ Δεκ 26, 2008 9:37 pm

Γειά σας και χρόνια πολλά. Η συνάρτηση που δίνεται είναι συνεχής. Αν λοιπόν είναι 1-1 θα είναι γνησίως μονότονη. Η παράγωγος της για x<0 είναι 2(x+\alpha). Για να διατηρεί πρόσημο πρέπει \alpha \leq 0. Η τιμή 0 απορρίπτεται για προφανείς λόγους. Βλέπουμε ότι για \alpha<0 και μόνον η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και συγκεκριμένα γνησίως φθίνουσα.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3924
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: συνάρτηση ''1-1''

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Δεκ 26, 2008 9:53 pm

Καταρχήν θα πρέπει η τετμημένη της κορυφή της παραβολής να είναι θετική (διαφορετικά υπάρχει μία περιοχή στην οποία η συνάρτηση δεν είναι 1-1). Άρα λοιπόν πρέπει \alpha<0. Από την άλλη, όταν \alpha<0 τότε ο δεύτερος κλάδος της συνάρτησης (η ευθεία) έχει σύνολο τιμών το (-\infty, -1). Άρα λοιπόν για να είναι η συνάρτηση 1-1 πρέπει να απαιτήσουμε ο πρώτος κλάδος (η υπερβολή) να είναι \geq -1 για κάθε x \geq 0, πράγμα που ισχύει για κάθε \alpha<0. Συνεπώς πρέπει \alpha<0.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11566
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: συνάρτηση ''1-1''

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 26, 2008 10:28 pm

Πολύ ωραίες λύσεις και οι δύο. Να άλλη μία:

Για να είναι 1-1 πρέπει να μην υπάρχουν x < 0 και y > 0 τέτοια ώστε
x^2 + 2ax - 1 = ay -1 , δηλαδή x^2 = a(y - 2x) ,~~(*). Δεδομένου ότι
y - 2x \geq  0 και x^2 > 0 , η (*) δεν έχει λύση αν a < 0. Το αντίστροφο είναι απλό.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τετ Μάιος 09, 2012 11:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: LaTeX


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης