''πονηράδας''....συνέχεια.

Συντονιστές: Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

''πονηράδας''....συνέχεια.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Δεκ 26, 2008 11:05 pm

Ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις των συναδέλφων στην προηγούμενη άσκηση...
Συνεχίζω με την εξής άσκηση...
Εστω \displaystyle{f:\left[ {\alpha ,\beta } \right] \to \left[ {\alpha ,\beta } \right]} συνάρτηση για την οποία ισχύει:
\displaystyle{\left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {x - y} \right|},για κάθε x,y στο \displaystyle{\left[ {\alpha ,\beta } \right]}.
Να αποδείξετε οτι \displaystyle{\left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {x - y} \right|} για κάθε x,y στο \displaystyle{\left[ {\alpha ,\beta } \right]}.

Υ.Γ: Επεξεργασία σε latex 22/01/2016
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Παρ Ιαν 22, 2016 6:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Παρ Δεκ 26, 2008 11:17 pm

Χρήστο είναι καλή η εκφώνηση; Φέρνω στο μυαλό μου την e^x στο [1,2].
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Δεκ 26, 2008 11:23 pm

Κύριε Μαυρογιάννη είναι ακριβώς έτσι η εκφώνηση.Είναι στον πρώτο απο τους 3 τόμους της ''ανάλυσης'' του Τάκη του Βλάμου,σελ 42.


Χρήστος Κυριαζής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 26, 2008 11:31 pm

nsmavrogiannis έγραψε:Χρήστο είναι καλή η εκφώνηση; Φέρνω στο μυαλό μου την e^x στο [1,2].
Μαυρογιάννης
Νίκο, η άσκηση ζητά το σύνολο τιμών να είναι στο [α, β], δηλαδή όπως το πεδίο ορισμού.
Οπότε το αντιπαράδειγμά σου δεν κάνει. Και εγώ είχα σκεφτεί ακριβώς το ίδιο
αλλά μετά είδα σωστότερα την εκφώνηση.
Όμως ίσως (λέω, ίσως) η εκφώνηση πρέπει να διορθωθεί σε "f συνεχής".


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Παρ Δεκ 26, 2008 11:34 pm

Ωχ! Ούτε που το είδα.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 26, 2008 11:56 pm

Με την έξτρα υπόθεση ότι η f είναι συνεχής, να μία απόδειξη:

Η υπόθεση δίνει ότι η f είναι 1-1 (απλό). Άρα, ως συνεχής (!) είναι μονότονη. Χωρίς βλάβη, αύξουσα.

Αν υπάρχουν p, q στο [α, β] με | f(p) – f(q) | > |p – q| τότε, χωρίς βλάβη a < p < q < b.
Έτσι έχουμε (τα απόλυτα φεύγουν διότι f αύξουσα)
f(b) – f(q) > = b – q
f(q) – f(p) > q – p
f(p) – f(a) > = p – a

Προσθέτοντας κατά μέλη f(b) – f(α) > b – α (γνήσια ανίσωση). Άτοπο διότι
f(b) – f(α) < = b – a (αφού το σύνολο τιμών περιέχεται στο [a, b] ).

Για f ασυνεχή, ίδωμεν....

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3923
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Δεκ 27, 2008 12:17 am

Από τα δεδομένα παίρνουμε |f(a)-f(b)| \geq b-a \ \  (1)
Από την άλλη επειδή f(x) \in [a,b] άρα

a\leq f(a) \leq b
-b\leq -f(b) \leq -a και με πρόσθεση των δύο τελευταίων παίρνουμε a-b\leq f(a)-f(b) \leq b-a

έτσι |f(a)-f(b)|\leq b-a \ \ (2). Λόγω των (1) και (2) παίρνουμε |f(a)-f(b)|=b-a.

Όμως η τελευταία ισότητα δίνει [f(a)=a και f(b)=b] ειτε [f(a)=b και f(b)=a].

Στην πρώτη περίπτωση που f(a)=a και f(b)=b: Θέτουμε στην αρχική σχέση y=a και παίρνουμε |f(x)-f(a)|\geq |x-a|=x-a άρα f(x)-a\geq x-a δηλαδή f(x)\geq x, για κάθε x\in[a,b].

Από την άλλη θέτοντας y=b παίρνουμε |f(x)-f(b)|\geq |x-b| δηλαδή b-f(x)\geq b-x δηλαδή f(x) \leq x, για κάθε x\in[a,b].
Συνεπώς \boxed{f(x)=x, \ \ \forall x\in[a,b]}

Στη δεύτερη περίπτωση που f(a)=b και f(b)=a: Θέτουμε y=a στην αρχική κι έτσι παίρνουμε |f(x)-f(a)|\geq |x-a| δηλαδή |f(x)-b|\geq |x-a| δηλαδή b-f(x)\geq x-a δηλαδή f(x)\leq a+b-x για κάθε x\in[a,b].

Από την άλλη, θέτοντας y=b στην αρχική παίρνουμε |f(x)-f(b)|\geq |x-b| δηλαδή |f(x)-a|\geq |x-b| δηλαδή f(x)-a\geq b-x δηλαδή f(x) \geq a+b-x, για κάθε x\in[a,b].
Συνεπώς \boxed{f(x)=a+b-x, \ \ \forall x\in[a,b]}.

Σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις ισχύει η ζητούμενη σχέση.

Αλέξανδρος Συγκελάκης

Υ.Γ. Πιστεύω ότι βγαίνει με γρηγορότερο τρόπο καθώς η παραπάνω προσδιορίζει ακριβώς τις συναρτήσεις που επαληθεύουν τη συγκεκριμένη σχέση. Είναι κάτι καλύτερο από αυτό που ζητάει η άσκηση. Φυσικά όλα αυτά, μόνο εάν τα παραπάνω είναι σωστά και δεν έχω χάσει κάπου.


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Δεκ 27, 2008 12:42 am

Nομίζω Αλέξανδρε πως η λύση σου είναι μαθηματικά άρτια (δεδομένου της περασμένης ώρας).
Καληνύχτα και ευχαριστώ πολύ!


Χρήστος Κυριαζής
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Σάβ Δεκ 27, 2008 8:59 pm

chris_gatos έγραψε:Εστω f:[α,β]->[α,β] συνάρτηση για την οποία ισχύει:
|f(x)-f(ψ)|>=|χ-ψ|,για κάθε χ,ψ στο [α,β].
Να αποδείξετε οτι |f(x)-f(ψ)|=|χ-ψ| για κάθε χ,ψ στο [α,β]
....................
cretanman έγραψε:
....Συνεπώς \boxed{f(x)=x, \ \ \forall x\in[a,b]}
\boxed{f(x)=a+b-x, \ \ \forall x\in[a,b]}....
Βρίσκω καταπληκτικό το αποτέλεσμα που δίνει η απόδειξη του Αλέξανδρου στην πολύ καλή, όπως αποδεικνύεται, έμπνευση της άσκησης.
Μπράβο και στους δύο: Στον Αλέξανδρο και σ΄αυτόν που εμπνεύστηκε την άσκηση για τον οποίο δεν γνωρίζω κατά πόσο είχε υπόψιν του το αποτέλεσμα που δίνει η απόδειξη του Α. ή, αν φτάνει στο ζητούμενο, χωρίς αυτό!
Χρήστο, μήπως γνωρίζεις τη λύση που δίνει ο συγγραφέας;


Κώστας Σερίφης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Δεκ 27, 2008 9:39 pm

Την έχει άλυτη κύριε Σερίφη...


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3923
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ''πονηράδας''....συνέχεια.

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Κυρ Δεκ 28, 2008 1:03 am

k-ser έγραψε: Μπράβο και στους δύο: Στον Αλέξανδρο και σ΄αυτόν που εμπνεύστηκε την άσκηση για τον οποίο δεν γνωρίζω κατά πόσο είχε υπόψιν του το αποτέλεσμα που δίνει η απόδειξη του Α. ή, αν φτάνει στο ζητούμενο, χωρίς αυτό!
Ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια κύριε Σερίφη!

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης