Πρόταση των Erdős-Klamkin!

#1

Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και έναν πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\lambda \geq 2.}$

Αποδείξτε ότι από τα τμήματα με μήκος

$\displaystyle{\cos ^{\lambda}\left(\frac{A}{\lambda} \right),\ \cos ^{\lambda}\left(\frac{B}{\lambda} \right), \ \cos ^{\lambda}\left(\frac{C}{\lambda} \right),}$

κατασκευάζεται τρίγωνο.

Σημειωτέον ότι, η απόδειξη των Erdős-Klamkin, κάνει χρήση διαφορικού λογισμού.

kwstas12345 · #2

Aς κάνω μια προσπάθεια...

Θεωρούμε την συναρτηση: $\displaystyle f\left(\lambda \right)=\cos ^{\lambda }\left(\frac{x}{\lambda } \right),\lambda>2,\pi>x>0$

με πρώτη παράγωγο:

$\displaystyle f'\left(\lambda \right)=\left(\cos ^{\lambda }\frac{x}{\lambda } \right)'=\left(e^{\lambda \ln \cos\frac{x}{\lambda }} \right)'=\left(e^{\lambda \ln \cos\frac{x}{\lambda }} \right)\left(\lambda \ln \cos\frac{x}{\lambda } \right)'=e^{\lambda \ln \cos\frac{x}{\lambda }}\left(\ln \cos\frac{x}{\lambda }+\lambda \frac{1}{\cos \frac{x}{\lambda }}\left(-\sin \frac{x}{\lambda } \right)\left(-\frac{x}{\lambda ^{2}} \right) \right)=e^{\lambda \ln \cos\frac{x}{\lambda }}\left(\ln\ cos\frac{x}{\lambda }+\frac{x}{\lambda }\tan \frac{x}{\lambda } \right)$

Θεωρώντας τώρα την $\displaystyle g\left(\lambda \right)=\ln \cos\frac{x}{\lambda }+\frac{x}{\lambda }\tan\left(\frac{x}{\lambda } \right)$

με πρώτη παραγωγο: $\displaystyle g'\left(\lambda \right)=\left(\ln \cos\frac{x}{\lambda }+\frac{x}{\lambda }\tan \frac{x}{\lambda } \right)'=\frac{1}{\cos\frac{x}{\lambda }}\left(-\sin \frac{x}{\lambda } \right)\left(-\frac{x}{\lambda ^{2}} \right)-\frac{x}{\lambda ^{2}}\tan \frac{x}{\lambda }+\frac{x}{\lambda }\frac{1}{\cos^{2}\frac{x}{\lambda }}\left(-\frac{x}{\lambda ^{2}} \right)=-\frac{x^2}{\lambda ^{3}}\left(\cos \frac{x}{\lambda } \right)^{-2}<0$

Άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα, άρα το σύνολο τιμών της θα είναι: $\displaystyle g\left(D_{g} \right)=\left(\lim_{\lambda \rightarrow \infty}g\left(\lambda \right),g\left(2 \right) \right)$

Είναι: $\displaystyle \lim_{\lambda \rightarrow \infty}\left(\ln \cos\frac{x}{\lambda }+\frac{x \tan\frac{x}{\lambda }}{\lambda } \right)=\lim_{\lambda \rightarrow \infty}\left(\ln \cos \frac{x}{\lambda } \right)+\lim_{\lambda \rightarrow \infty}\left(x\frac{\tan\frac{x}{\lambda }}{\lambda } \right)=\ln1+0=0$

Άρα $\displaystyle g\left(\lambda \right)>0,\lambda >2\Rightarrow f'\left(\lambda \right)>0$ άρα η

είναι γνησίως αύξουσα.

Έτσι: $\displaystyle \cos^{\lambda }\left(\frac{A}{\lambda } \right)+\cos^{\lambda }\left(\frac{B}{\lambda } \right)+\cos^{\lambda }\left(\frac{C}{\lambda } \right)>\cos^{2 }\left(\frac{A}{2 } \right)+\cos^{2 }\left(\frac{B}{2 } \right)+\cos^{2 }\left(\frac{C}{2} \right)=\frac{4R+r}{2R}>2>2cos^{\lambda }\left(\frac{A}{\lambda } \right),2\cos^{\lambda }\left(\frac{B}{\lambda } \right),2\cos^{\lambda }\left(\frac{C}{\lambda } \right)$

Η παραπάνω καταλήγει στις:

$\displaystyle \cos^{\lambda }\left(\frac{A}{\lambda } \right)+\cos^{\lambda }\left(\frac{B}{\lambda } \right)>\cos^{\lambda }\left(\frac{C}{\lambda } \right),\cos^{\lambda }\left(\frac{B}{\lambda } \right)+\cos^{\lambda }\left(\frac{C}{\lambda } \right)>\cos^{\lambda }\left(\frac{A}{\lambda } \right),\cos^{\lambda }\left(\frac{C}{\lambda } \right)+\cos^{\lambda }\left(\frac{A}{\lambda } \right)>\cos^{\lambda }\left(\frac{B}{\lambda } \right)$

που είναι και το ζητούμενο.

Για $\lambda=2$ το ζητούμενο έπεται εύκολα.

Πιστεύω να είμαι σωστός...

Πρόταση των Erdős-Klamkin!

Πρόταση των Erdős-Klamkin!

Re: Πρόταση των Erdős-Klamkin!

Μέλη σε σύνδεση