Ανισότητα σε τρίγωνο.

#1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ εμβαδού

και ημιπεριμέτρου

. Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\sqrt{s^2 +3\sqrt{3}E}\geq \sqrt{a(s-a)}+\sqrt{b(s-b)}+\sqrt{c(s-c)}.}$

kwstas12345 · #2

Νομίζω πως έχω μια λύση. Aρχικά χρησιμοποιώντας τον δυικό μετασχηματισμό επειδή $\displaystyle x=-a+b+c,y=a-b+c,z=a+b-c$ τότε $\displaystyle s^2+3\sqrt{3}E=\frac{1}{4}\left(\left(x+y+z \right)^2+3\sqrt{3\left(x+y+z \right)xyz} \right)$ και $\displaystyle a\left(s-a \right)=\frac{1}{4}x\left(y+z \right)$ .

Οπότε αρκεί να αποδειχθεί $\displaystyle \sqrt{\left(x+y+z \right)^2+3\sqrt{3xyz\left(x+y+z \right)}}\geqslant 2\sum_{cyc}{\sqrt{x\left(y+z \right)}}$ μετά από ύψωση στο τετράγωνο αρκεί $\displaystyle x^2+y^2+z^2+3\sqrt{3xyz\left(x+y+z \right)}\geqslant 2\sum_{cyc}{\sqrt{xy\left(y+z \right)\left(z+x \right)}}$ .

Από CS είναι $\displaystyle \left(xyz+xyz+xyz \right)\left(x+y+z \right)\geqslant\left(\sum_{cyc}{x\sqrt{yz}} \right)^2$ . Ακόμη υποθέτουμε λόγω ομοιογένειας ότι $\displaystyle x+y+z=1$ . Από ΑΜ-ΓΜ $\displaystyle 2\sum_{cyc}{\sqrt{xy\left(x+z \right)\left(y+z \right)}}\leqslant \sum_{cyc}{\left(z+1 \right)\sqrt{xy}}$ .

Τελικά αρκεί $\displaystyle x^2+y^2+z^2+2\sum_{cyc}{x\sqrt{yz}}\geqslant \sum_{cyc}{\sqrt{yz}}$ . Θέτουμε $\displaystyle x=u^2,y=v^2,z=w^2$ οπότε αρκεί $\displaystyle u^4+v^4+w^4+2uvw\left(u+v+w \right)\geqslant \sum_{cyc}{uv}$ υπό τον περιορισμό $\displaystyle u^2+v^2+w^2=1$ .

H παραπάνω ανισότητα μπορεί να αποδειχθεί και για $\displaystyle u,v,w \in \left(0,1 \right]$ μιας και $\displaystyle u,v,w>0$ . Θεωρούμε την Λανγκαρασιανή $\displaystyle F\left(u,v,w,\lambda \right)= \sum_{cyc}{u^4}+2uvw\left(u+v+w \right)- \sum_{cyc}{uv}-\lambda\left(\sum_{cyc}{u^2}-1 \right)$ .

Λύνουμε το σύστημα $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial z}=0$ δηλαδή $\displaystyle \begin{Bmatrix} 4u^3+2uvw+2vw\left(u+v+w \right) -\lambda\left(w+v \right)=0 \\ 4v^3+2uvw+2wu\left(v+w+u \right)-\lambda\left(u+w \right)=0 \\ 4w^3+2uwv+2uv\left(u+v+w \right)-\lambda\left(v+u \right)=0 \end{Bmatrix}$ και απαλοίφωντας το λάμδα έχουμε

$\displaystyle \frac{2a^3+abc+bc\left(a+b+c \right)}{b+c}=\frac{2b^3+abc+ca\left(a+b+c \right)}{c+a}=\frac{2c^3+abc+ab\left(a+b+c \right)}{a+b}$ (για ευκολια βάζω στα γράμματα $\displaystyle v\rightarrow a,u\rightarrow b,w\rightarrow c$ ) κάνοντας χιαστί ανα δύο έχουμε

$\displaystyle \begin{Bmatrix} \left(a-b \right)\left(3abc+2\left(a+b+c \right)\left(1-c^2 \right)-c^2\left(a+b+c \right) \right)=0 \\ \left(b-c \right)\left(3abc+2\left(a+b+c \right)\left(1-a^2 \right)-a^2\left(a+b+c \right) \right)=0 \\ \left(c-a \right)\left(3abc+2\left(a+b+c \right)\left(1-b^2 \right)-b^2\left(a+b+c \right) \right)=0 \end{Bmatrix}$ .

Άν ισχυει μια εκ των $\displaystyle a-b=0,b-c=0,c-a=0$ και δύο από τις άλλες , έχουμε λύσεις της μορφής $\displaystyle \left(a,a,b \right),2a^2+b^2=1$ . Οι λύσεις αυτές όμως δίνουν ελάχιστο καθώς γενικότερα:

$\displaystyle F\left(a,a,b \right)=\left(2a^2-1 \right)\left(a^2+2a\sqrt{1-2a^2}-1 \right)\geqslant 0$ αφού $\displaystyle b^2=1-2a^2\Rightarrow a \in \left(0,\frac{1}{\sqrt{2}} \right]$ και $\displaystyle a^2+2a\sqrt{1-2a^2}-1\leqslant 0, \forall a \in \left(0,\frac{1}{\sqrt{2}} \right]$ . Πχ άν πάρουμε $\displaystyle a\rightarrow 0\Rightarrow b^2+c^2\rightarrow 1$ και $\displaystyle F=b^4+c^4-bc\geqslant \frac{\left(b^2+c^2 \right)^2}{2}-bc=\frac{b^2+c^2 }{2}-bc\geqslant 0$ .

Βέβαια το ελάχιστο λαμβάνεται όταν $\displaystyle u=v=w=\frac{1}{\sqrt{3}}$ μιας και είναι θετικοί αριθμοί. H παράσταση είναι μη αρνητική μιας και αυτό διαβεβαιώνεται με ενα απλό αριθμητικό παραδειγμα. H εξακρίβωση ότι το παραπάνω σημείο δίνει ελάχιστο γίνεται και με τις ελάσσονες ορίζουσες.

Ανισότητα σε τρίγωνο.

Ανισότητα σε τρίγωνο.

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο.

Μέλη σε σύνδεση