Αφού είδαμε
αυτό, ας "κλείσουμε" και αυτό, που έχει μείναι καιρό άλυτο.
Έστω
![\displaystyle{{I_a}} \displaystyle{{I_a}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3b1265887514a39bd2926b441b60479a.png)
,
![\displaystyle{{I_b}} \displaystyle{{I_b}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/296bb907475cc6a3775760b94746a866.png)
και
![\displaystyle{{I_c}} \displaystyle{{I_c}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2bcb2ae22918984eac9c418fb641326d.png)
τα παράκεντρα του τριγώνου
![\displaystyle{ABC} \displaystyle{ABC}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2b141b4b2eb91131ccec8e1de8b00117.png)
. Όπως αποδείχθηκε
εδώ, το τρίγωνο
![\displaystyle{{I_a}{I_b}{I_c}} \displaystyle{{I_a}{I_b}{I_c}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/553af73a839bdfb0924a2005cd4b6784.png)
έχει πλευρές
![\displaystyle{4R\cos \frac{A}{2}} \displaystyle{4R\cos \frac{A}{2}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/25442fdebe3fa9a274049f49648275da.png)
,
![\displaystyle{4R\cos \frac{B}{2}} \displaystyle{4R\cos \frac{B}{2}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d962f76fd4d5a6c35cc1f8143f48fbdf.png)
,
και εμβαδόν ίσο με
![\displaystyle{2sR} \displaystyle{2sR}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b4d3ca8bfa32f2eaf5ec42bcdddb5870.png)
.
Εφαρμόζοντας την ανισότητα Finsler-Hadwiger στο τρίγωνο
![\displaystyle{{I_a}{I_b}{I_c}} \displaystyle{{I_a}{I_b}{I_c}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/553af73a839bdfb0924a2005cd4b6784.png)
βρίσκουμε ότι:
(1)
Χρησιμοποιώντας τους τύπους
![\displaystyle{{\cos ^2}\frac{B}{2} = \frac{{s\left( {s - b} \right)}}{{ca}}} \displaystyle{{\cos ^2}\frac{B}{2} = \frac{{s\left( {s - b} \right)}}{{ca}}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e50859d9a23a1fe8110f910fe0db1173.png)
και
![\displaystyle{{\cos ^2}\frac{C}{2} = \frac{{s\left( {s - c} \right)}}{{ab}}} \displaystyle{{\cos ^2}\frac{C}{2} = \frac{{s\left( {s - c} \right)}}{{ab}}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/8f73bba1cf364f46b88890d2914fc70a.png)
,
το αριστερό μέλος της
(1) γράφεται:
Επομένως, η
(1) γράφεται ισοδύναμα:
που είναι ισοδύναμη με την αποδεικτέα ανισότητα, αφού
![\displaystyle{E = rs} \displaystyle{E = rs}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d8db8edc56f683884dd05ad2f8a2bc6d.png)
.